262.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型

Ch.2控制系统的状态空间模型目录(1/1)目录概述2.1状态和状态空间模型2.2根据系统机理建立状态空间模型2.3根据系统的输入输出关系建立状态空间模型2.4状态空间模型的线性变换和约旦规范型2.5传递函数阵2.6线性离散系统的状态空间描述2.7Matlab问题本章小结根据系统的输入输出关系建立状态空间模型(1/2)2.3根据系统的输入输出关系建立状态空间模型本节讨论由描述线性定常系统输入输出间动态特性的高阶常微分方程与传递函数,通过选择适当的状态变量分别建立系统的状态空间模型。这样的问题称为系统的实现问题。这种变换过程的原则是,不管状态变量如何选择,应保持系统输入输出间的动态和静态关系不变。根据系统的输入输出关系建立状态空间模型(2/2)本节的内容为：由高阶常微分方程建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型多输入多输出线性系统非线性系统由高阶常微分方程建立状态空间模型(1/1)2.3.1由高阶常微分方程建立状态空间模型本节主要讨论由描述系统输入输出关系的常微分方程建立系统的状态空间模型,分别讨论由不含输入量导数项和由含输入量导数项的微分方程建立状态空间模型。本节关键问题:如何选择状态变量保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变关键喔!微分方程中不包含输入量的导数项(1/9)1.微分方程中不包含输入量的导数项描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为,不包含有输入量的导数项时的线性定系数常微分方程为y(n)+a1y(n-1)+…+any=bu其中y和u分别为系统的输出和输入;n为系统的阶次。这里所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系统的如下状态空间数学模型--状态空间模型ABCDxxuyxu本节问题的关键是如何选择状态变量。微分方程中不包含输入量的导数项(2/9)由微分方程理论知,若初始时刻t0的初值y(t0),y’(t0),…,y(n-1)(t0)已知,则对给定的输入u(t),微分方程(2-6)有唯一解,也即系统在tt0的任何瞬时的动态都被唯一确定。因此,选择状态变量为如下相变量x1(t)=y(t),x2(t)=y’(t),…,xn(t)=y(n-1)(t)可完全刻划系统的动态特性。取输出y和y的各阶导数(也称相变量)为状态变量,物理意义明确,易于接受。微分方程中不包含输入量的导数项(3/9)将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程,有如下状态方程12111.........nnnnnxxxxxaxaxbu和输出方程y=x1微分方程中不包含输入量的导数项(4/9)将上述状态方程和输出方程写成矩阵形式有1`2101000001000000101000nnnaaaabxxuyx12[...],[][]nxxxuyxuy其中和。微分方程中不包含输入量的导数项(5/9)该状态空间模型可简记为:其中ABCxxuyx]0...01[0...0-...--1...00............0...1011CbBaaaAnn微分方程中不包含输入量的导数项(6/9)上述式子清楚说明了状态空间模型中系统矩阵A与微分方程(2-6)中的系数a1,a2,…,an之间,输入矩阵B与方程(2-6)中系数b之间的对应关系。通常将上述取输出y和y的各阶导数为状态变量称为相变量。上述状态空间模型中的系统矩阵具有特别形式,该矩阵的最后一行与其矩阵特征多项式的系数有对应关系,前n-1行为1个n-1维的零向量与(n-1)(n-1)的单位矩阵。该类矩阵称为友矩阵。友矩阵在线性定常系统的状态空间分析方法中是一类重要的矩阵,这在后面的章节中可以看到。微分方程中不包含输入量的导数项(7/9)上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示bu-a1…1-a22…-an-1-annxuxnxn-1x2x1y微分方程中不包含输入量的导数项(8/9)-例2-1例2-1将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型y”’+6y”+11y’+6y=6u解本例中a1=6a2=11a3=6b=6因此,当选择输出y及其1阶与2阶导数等相变量为状态变量时,由式(2-11)和(2-12)可得状态空间模型如下0100001061166[100]xxuyx微分方程中不包含输入量的导数项(9/9)-例2-1其系统结构图如下所示6-61-112-63xux3x2x1y微分方程中包含输入量的导数项(1/11)2.微分方程中包含输入量的导数项描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为的微分方程的一般表达式为y(n)+a1y(n-1)+…+any=b0u(n)+…+bnu本小节所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系统的如下状态空间数学模型--状态空间模型ABCDxxuyxu建立该状态空间模型的关键是如何选择状态变量?微分方程中包含输入量的导数项(2/11)若按照前面的方法那样选取相变量为状态变量,即x1(t)=y(t),x2(t)=y’(t),…,xn(t)=y(n-1)(t)则可得如下状态方程121()110.........nnnnnnnxxxxxaxaxbubu根据微分方程解的存在性和唯一性条件,要求输入u(t)为分段连续,而上述状态方程中输入u的各阶导数可能不连续,从而使微分方程解的存在性和唯一性的条件不成立。因此,状态方程中不应有输入u的导数项出现,即不能直接将输出y的各阶导数项取作状态变量。微分方程中包含输入量的导数项(3/11)为避免状态方程中显示地出现输入的导数,通常,可利用输出y和输入u以及其各阶导数的线性组合来组成状态变量,其原则是:使状态方程中不显含输出u的各阶导数。基于这种思路选择状态变量的方法很多,下面先介绍一种,其他的方法将在后续章节中陆续介绍。微分方程中包含输入量的导数项(4/11)根据上述原则,选择状态变量如下)1(021)1(012301201nnnnnuuuyxuuuyxuuyxuyx其中i(i=0,1,…,n)为待定系数。微分方程中包含输入量的导数项(5/11)因此,有102121032(1)(1)12301()()120(1)()(1)101()120nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxyuxuxyuuxuxyuuuxuxyuuuayaybububuuuu微分方程中包含输入量的导数项(6/11)若待定系数i(i=0,1,…,n)满足如下关系式0=b01=b1-a102=b2-a11-a20……n=bn-a1n-1-…-an0即i(i=0,1,…,n)满足如下方程组nnnnnbbbbaaaaaa210210211211010010001微分方程中包含输入量的导数项(7/11)1211`21001000010000011000nnnnnaaaaxxuyxu12[...],[][]nxxxuyxuy其中和。则该高阶微分方程可转化描述为如下不含有输入导数项的状态空间模型微分方程中包含输入量的导数项(8/11)上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示u-a1……-an-1-annxxnx1nun-111nxx2y01x微分方程中包含输入量的导数项(9/11)-例2-2例2-2将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型y”’+5y”+8y’+4y=2u”+14u’+24u解本例中a1=5a2=8a3=4b0=0b1=2b2=14b3=24因此,有0=b0=01=b1-a10=22=b2-a11-a20=43=b3-a12-a21-a30=-12微分方程中包含输入量的导数项(10/11)-例2-2因此,当选择状态变量如下时0102001448512[100]xxuyx即得系统的状态空间模型为uuyuuuyxuyuuyxyuyx242012301201微分方程中包含输入量的导数项(11/11)-例2-2其系统结构图如下所示u-5-8-43xx3x1-12u422xx2y1x由传递函数建立状态空间模型(1/6)2.3.2由传递函数建立状态空间模型下面讨论由描述系统输入输出关系的传递函数建立系统的状态空间模型。关键问题:1.如何选择状态变量2.保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变喔,关键!线性定常微分方程由传递函数建立状态空间模型(2/6)由于传递函数与线性定系数常微分方程有直接的对应关系,故前面讨论的由高阶线性微分方程建立状态空间模型的方法同样适用于将传递函数建立变换为状态空间模型。类似地,本节讨论的由传递函数建立状态空间模型的方法亦适用于对微分方程建立状态空间模型。传递函数第一章第三节方法第一章第四节方法建立状态空间模型方法对线性定常系统拉氏变换由传递函数建立状态空间模型(3/6)实际物理系统传递函数中分子多项式阶次小于或等于其分母多项式阶次,此时称该传递函数为真有理传递函数。而分子多项式阶次小于分母多项式阶次时,则称为严格真有理传递函数。本节讨论描述单输入单输出(SISO)线性系统的输入输出间动态行为的如下传递函数1010101...()(0)...nnnnnnbsbsbGsaasasa由传递函数建立状态空间模型(4/6)对上述传递函数,由长除法,有101101111000001010...().../.../...()nnnnnnnnnnnnbsbsbGsasasababasbababasasaaGsd其中000001111......)(aabbbaaaabdasasbsbsGiiiiinnnnn由传递函数建立状态空间模型(5/6)本节所要研究的是建立该传递函数所描述的动态系统的状态空间模型(A,B,C,D)。上述常数项d即为状态空间模型(A,B,C,D)中的直联矩阵D;严格真有理传递函数G(s)对应可建立(A,B,C,D)中的(A,B,C)。即SG(s)(A,B,C)dD由传递函数建立状态空间模型(6/6)下面分传递函数极点互异和有重极点两种情况讨论如何建立状态空间模型。传递函数中极点互异时的变换(1/8)1.传递函数中极点互异时的变换对于传递函数G(s),其特征方程为sn+a1sn-1+…+an=0若其特征方程的n个特征根s1,s2,…,sn互异,则用部分分式法可将G(s)表示为如下并联分解其中k1,k2,…,kn为待定系数,其计算公式为11121212...()...(-)(-)...(-)---nnnnnbsbkkkGsssssssssssssissiisssGk)]-)(([自己推导一下,行吗?传递函数中极点互异时的变换(2/8)下面以k1计算式的推导过程为例说明的ki的计算式。将G(s)的乘以s-s1,有因此,由于特征根s1,s2,…,sn互异，有)-(-...-)-)((12211ssssks