三角函数诱导公式一-四

新知探究题型探究感悟提升【课标要求】1．了解π＋α，π－α，－α的终边与角α的终边的关系，会推导π＋α的正弦、余弦、正切公式．2．掌握π＋α，π－α，－α的正弦、余弦、正切公式并能正确运用．【核心扫描】1．理解诱导公式的推导．(难点)2．诱导公式与同角三角函数基本关系的综合运用．(重点)3．各种诱导公式的特点．(易混点)1．3三角函数的诱导公式第1课时三角函数诱导公式一～四新知探究题型探究感悟提升新知导学诱导公式一～四新知探究题型探究感悟提升温馨提示：公式一～四可概括如下：k·2π＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，即“函数名不变，符号看象限”(把α视为锐角)．互动探究探究点1诱导公式中的角α只能是锐角吗？提示角α不仅仅是锐角，可以是任意角．新知探究题型探究感悟提升探究点2诱导公式一～四主要有什么作用？提示公式一的作用是：把不在0～2π范围内的角化为0～2π范围内的角；公式二的作用是：把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数；公式三的作用是：把负角的三角函数化为正角的三角函数；公式四的作用是：把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数．因此，运用公式一～四可以将任一角的三角函数转化为锐角的三角函数.新知探究题型探究感悟提升[思路探索]利用诱导公式将负角、大角的三角函数转化为锐角的三角函数．类型一给角求值问题【例1】求下列各三角函数式的值：(1)sin1320°；(2)cos－31π6；(3)tan(－945°)．解(1)法一sin1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32.新知探究题型探究感悟提升法二sin1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－32.(2)法一cos－31π6＝cos31π6＝cos4π＋7π6＝cos(π＋π6)＝－cosπ6＝－32.法二cos－31π6＝cos－6π＋5π6＝cosπ－π6＝－cosπ6＝－32.新知探究题型探究感悟提升(3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1.[规律方法]此问题为已知角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数．新知探究题型探究感悟提升【活学活用1】求sin2nπ＋2π3·cosnπ＋4π3的值(n∈Z)．解①当n为奇数时，原式＝sin2π3·－cos43π＝sinπ－π3·－cosπ＋π3＝sinπ3·cosπ3＝32×12＝34.②当n为偶数时，原式＝sin23π·cos43π＝sinπ－π3·cosπ＋π3＝sinπ3·－cosπ3＝－34.新知探究题型探究感悟提升[思路探索]利用同角三角函数的基本关系式，由cos(α－75°)的值求sin(α－75°)的值，再结合诱导公式求sin(105°＋α)的值．类型二给值求值问题【例2】(2012·商丘高一检测)已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．新知探究题型探究感悟提升[规律方法]解答这类给值求值的问题，首先应把所给的值进行化简，再结合被求值的式子的特点，观察所给值的式子与被求式的特点，找出它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当地选择诱导公式．解∵cos(α－75°)＝－130，且α为第四象限角，∴α－75°是第三象限角．∴sin(α－75°)＝－1－cos2α－75°＝－1－－132＝－223.∴sin(105°＋α)＝sin180°＋α－75°＝－sin(α－75°)＝223.新知探究题型探究感悟提升【活学活用2】已知cos(π＋α)＝－35，πα2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值．解∵cos(π＋α)＝－cosα＝－35，∴cosα＝35，∵πα2π，∴3π2α2π，∴sinα＝－45.∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cosα)＝－sinα－cosα＝－(sinα＋cosα)＝－－45＋35＝15.新知探究题型探究感悟提升[思路探索](1)直接利用诱导公式化简即可．(2)可用诱导公式尽可能将角统一，去根号时注意三角函数值的正负，从而达到化简目的．类型三三角函数式的化简【例3】化简下列各式．(1)tan2π－αsin－2π－αcos6π－αcosα－πsin5π－α；(2)1＋2sin290°cos430°sin250°＋cos790°.新知探究题型探究感悟提升解(1)原式＝sin2π－αcos2π－α·sin－αcos－αcosπ－αsinπ－α＝－sinα－sinαcosαcosα－cosαsinα＝－sinαcosα＝－tanα.(2)原式＝1＋2sin360°－70°cos360°＋70°sin180°＋70°＋cos720°＋70°＝1－2sin70°cos70°－sin70°＋cos70°＝|cos70°－sin70°|cos70°－sin70°＝sin70°－cos70°cos70°－sin70°＝－1.新知探究题型探究感悟提升[规律方法]三角函数式的化简方法：(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数．(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tanπ4.新知探究题型探究感悟提升【活学活用3】化简下列各式．(1)cosπ＋α·sin2π＋αsin－α－π·cos－π－α；(2)cos190°·sin－210°cos－350°·tan－585°.解(1)原式＝－cosα·sinα－sinπ＋α·cosπ＋α＝cosαsinαsinα·cosα＝1.新知探究题型探究感悟提升(2)原式＝cos180°＋10°[－sin180°＋30°]cos－360°＋10°[－tan360°＋225°]＝－cos10°·sin30°cos10°·[－tan180°＋45°]＝－12－tan45°＝12.方法技巧转化与化归思想在求三角函数式值中的应用利用诱导公式一、二、三、四，可以把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值．基本步骤：任意负角的三角函数――→公式三或一相应的正角的三角函数――→公式一0到2π角的三角函数――→公式二、四锐角的三角函数――→查表三角函数值．其步骤可简记为“负化正，大化小”，充分体现了将未知化为已知的转化与化归思想．新知探究题型探究感悟提升[思路分析]借助同角三角函数基本关系及立方差公式求解．【示例】已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23π2απ.求：(1)sinα－cosα；(2)sin3(2π－α)＋cos3(2π－α)的值．解(1)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得：sinα＋cosα＝23，对上式平方得：2sinα·cosα＝－79.新知探究题型探究感悟提升∵π2απ，∴sinα0cosα，故sinα－cosα＝sinα－cosα2＝sin2α＋cos2α－2sinα·cosα＝1－－79＝43.(2)由(1)得：sinα·cosα＝－718，cosα－sina＝－43，sin3(2π－α)＋cos3(2π－α)＝cos3α－sin3α＝(cosα－sinα)(cos2α＋sinαcosα＋sin2α)＝－43×1－718＝－2227.新知探究题型探究感悟提升[题后反思]本题体现了转化思想，解决本题可通过观察sinα＋cosα与sinα－cosα的关系及cos3α－sin3α与cosα－sinα，sinαcosα的关系来解．通过这种转化，使复杂的问题变得简单明了，符合处理数学问题时的简单化原则.新知探究题型探究感悟提升课堂达标1．计算sin－π3的值为()．A．－12B．12C.32D．－32解析sin－π3＝－sinπ3＝－32.答案D新知探究题型探究感悟提升2．如果角α、β满足α＋β＝π，那么下列式子中正确的个数是()．①sinα＝sinβ；②sinα＝－sinβ；③cosα＝cosβ；④cosα＝－cosβ.A．1B．2C．3D．4解析∵α＋β＝π，∴α＝π－β，∴sinα＝sin(π－β)＝sinβ，故①正确；②不正确；cosα＝cos(π－β)＝－cosβ，故④正确，③不正确．答案B新知探究题型探究感悟提升3．sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1＝________.解析原式＝(－sinα)2－(－cosα)cosα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.答案24．设tan(5π＋α)＝m，则sinα－3π＋cosπ－αsin－α－cosπ＋α＝________.解析tan(5π＋α)＝tanα＝m，sinα－3π＋cosπ－αsin－α－cosπ＋α＝－sinα－cosα－sinα＋cosα＝sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝m＋1m－1.答案m＋1m－1新知探究题型探究感悟提升5．化简：sin2π－αsinπ＋αcos－π－αsin3π－α·cosπ－α.解原式＝－sinα－sinαcosπ＋αsinπ－α·－cosα＝sin2α－cosαsinα·－cosα＝sinα.新知探究题型探究感悟提升课堂小结1．诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系．换句话说，诱导公式实质是将终边对称的图形关系“翻译”成三角函数之间的代数关系．2．记忆诱导公式一～四的口诀是“函数名不变，符号看象限”，其含义是公式两边的函数名称不变，符号则是将角α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．3．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：