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当前位置:首页 > 建筑/环境 > 工程监理 > 高等数学李伟版课后习题答案第二章
习题2—1(A)1.下列论述是否正确,并对你的回答说明理由:(1)函数的导数是函数的平均变化率在自变量的增量趋于零时的极限;(2)求分段函数(),,()(),xxafxxxa在分界点xa处的导数时,一般利用左、右导数的定义分别求该点处的左、右导数.如果二者存在且相等,则在这一点处的导数就存在,且等于左、右导数,否则函数在这点不可导;(3))(xfy在0x点可导的充分必要条件是)(xfy在0x点的左、右导数都存在;(4)函数)(xfy在0x点连续是它在0x点可导的充分必要条件.答:(1)正确.根据导数的定义.(2)正确.一般情况下是这样,但是若已知)(xf连续时,也可以用)()(00xfxf(即导函数的左极限),)()(00xfxf(即导函数的右极限)求左右导数.(3)不正确.应是左、右导数都存在且相等.(4)不正确.)(xf在0x点连续仅是)(xf在0x可导的必要条件,而不是充分条件,如xyxy、3都在0x点连续,但是它们在0x点都不可导.2.设函数2xxy,用导数定义求它在1x点处的导数.解:1lim10lim)1(121xxxxyxx.3.设函数yx,用定义求它在10x点处的导数.解:2111lim11lim)1(11xxxyxx.4.用定义求函数xyln在任意一点x(0x)处的导数.解:xxxxxxxyxxxxxx1eln])1ln[(limln)ln(lim1100.5.对函数xxxf2)(2,分别求出满足下列条件的点0x:(1)0)(0xf;(2)2)(0xf.解:22)22(lim)2()](2)[(lim)(0220xhxhxxhxhxxfhh,(1)由0)(0xf,有0220x,得10x;(2)由2)(0xf,有2220x,得00x.6.已知某物体的运动规律为221gts,求时刻t时物体的运动速度)(tv,及加速度)(ta.解:速度为gthgthgthtgtstvhh)2(lim2/2/)(lim)()(0220,加速度为gghgthtgtvtahh00lim)(lim)()(.7.求曲线xyln在点)01(,处的切线方程与法线方程.解:切线斜率11)1(1xxyk,切线方程为:)1(10xy,即01yx;法线方程为:)1(110xy,即01yx.8.若函数)(xf可导,求下列极限:(1)xxfxxfx)()(lim000;(2)xxfx)(lim0(其中0)0(f);(3)hhxfhxfh)()(lim000;(4)xxffx)sin1()1(lim0.解:(1)xxfxxfxxfxxfxx)()(lim)()(lim000000)(0xf.(2)0)0()(lim)(lim00xfxfxxfxx)0(f.(3)hhxfhxfh)()(lim000)()()()(lim)()(lim00000000xfxfhxfhxfhxfhxfhh)(20xf.(4)1)1(sinsin)1()sin1(lim)sin1()1(lim00fxxxfxfxxffxx)1(f.9.讨论下列函数在指定点的连续性和可导性:(1)3xy,在0x点;(2),,,,0001arctan)(2xxxxxf在0x点;(3)2,1,(),1,xxfxxx在1x点.解:(1)3xy是初等函数,且在0x的邻域内有定义,因此3xy在0x点连续,因为320301lim00limxxxxx(极限不存在),所以3xy在0x点不可导.(2)因为21arctanlim00)/1arctan(lim2020xxxxxx,所以,,,,0001arctan)(2xxxxxf在0x点可导,且2)0(f,从而也连续.(3)因为1)1(1lim)1(1lim)1(211fxfxfxx,,,有)1()(lim1fxfx,所以,2,1,(),1,xxfxxx在1x点连续,又2)1(lim11lim)1(111lim)1(1211xxxfxxfxxx,,由)1()1(ff,所以,2,1,(),1,xxfxxx在1x点不可导.10.设函数,,,,1e1e)(xxxxfx求(1)f.解:因为e1eelim)1(e11elime1eelim)1(1111xxfxxfxxxxx,,所以)1(fe.11.设函数,,,,0120cos)(xxxxxf求()fx.解:当0x时,xxxfsin)(cos)(,当0x时,22lim)12(1)(2lim)12()(00hhhxhxxxf,当0x时,由20112lim)0(001coslim)0(00_xxfxxfxx,,于是函数在0x点不可导,所以.020sin)(xxxxf,,,习题2—1(B)1.有一非均匀细杆AB长为20cm,M为AB上一点,又知AM的质量与从A点到点M的距离平方成正比,当AM为2cm时质量为8g,求:(1)AM为2cm时,这段杆的平均线密度;(2)全杆的平均线密度;(3)求点M处的密度.解:设xAMcm,则AM杆的质量为2)(kxxmg,由2AM时,8m,得2k,所以,22)(xxm,xhxhxhxxmhh4)24(lim2)(2lim)(0220g/cm.(1)AM为2cm时,这段杆的平均线密度为282)2(m4g/cm.(2)全杆的平均线密度为2080020)20(m40g/cm.(3)点M处的密度为)(xmx4g/cm.2.求ba,的值,使函数00e)(xbaxxxfx,,,在0x点可导.解:首先函数)(xf要在0x点连续.而1elim)0(0xxf,bbaxfx)(lim)0(0,bf)0(,由)0()0()0(fff,得1b,此时1)0(f.又11elim)0(0xfxx,axaxfx11lim)0(0,由)0()0(ff得1a.所以,当11ba,时,函数00e)(xbaxxxfx,,,在0x点可导.3.讨论函数xytan在0x点的可导性.解:1tanlim0tanlim)0(00xxxxfxx,1tanlim0tanlim)0(00xxxxfxx因为)0()0(ff,所以函数xytan在0x点不可导.4.若函数)(xf可导,且)(xf为偶(奇)函数,证明()fx为奇(偶)函数.证明:(1)若)(xf是偶函数,有)()(xfxf,因为)()()(lim)()(lim)(00xfhxfhxfhxfhxfxfhh,所以)(xf是奇函数.(2)若)(xf是奇函数,有)()(xfxf,因为)()()(lim)()(lim)(00xfhxfhxfhxfhxfxfhh,所以)(xf是偶函数.5.设非零函数)(xf在区间)(,内有定义,在0x点可导,)0()0(aaf,且对任何实数yx,,恒有)()()(yfxfyxf.证明)()(xafxf.证明:由)()()(yfxfyxf,令0yx,有)0()0(2ff,而0)(xf,得1)0(f.因为hxfhfxfhxfhxfhh)()()(lim)()(lim00)()0()()0()(lim)(1)(lim)(00xaffxfhfhfxfhhfxfhh,所以函数)(xf可导,且)()(xafxf.6.求曲线xxy1上的水平切线方程.解:hxxhxhxhxyhxyxyhh)/1()]/(1[lim)()(lim)(00211])(11[limxhxxh,由0)(xy,得x,当1x时,2y,此时水平切线是)1(02xy,即2y;当1x时,2y,此时水平切线是)1(02xy,即2y.7.在抛物线21xy上求与直线0yx平行的切线方程.解:对21xy,导函数为:xhxhxhxhxyhxyxyhhh2)2(lim)1(])(1[lim)()(lim)(02200,设切点为)1(2tt,,则切线斜率为ttyk2)(,而直线斜率为11k,根据已知,有1kk,即12t,得2/1t,切点为)4/32/1(,,切线方程为:)21(143xy,即0544yx.8.已知曲线2axy与曲线xyln相切,求公切线方程.解:设切点为),(00yx,则两曲线在切点处的斜率分别为012axk,02/1xk.由两曲线在0xx时相切,有./12ln00,020xaxxax得21ln0x,即e0x,此时,e21a,210y,公切线斜率为e1k,公切线方程为)e(e121xy,化简得021e1xy.习题2—2(A)1.下列论述是否正确,并对你的回答说明理由:(1)在自变量的增量比较小时,函数的微分可以近似刻画函数的增量,但是二者是不会相等的;(2)函数)(xfy在一点x处的微分xxfxf)()(d仅与函数在这点处的导数有关;(3)函数在一点可微与在这点可导是等价的,在一点可微的函数在这点必然连续,但反过来不成立,即在一点连续的函数在这点未必可微.答:(1)前者正确,根据微分的定义yxoyyd)(d;后者不正确,如对线性函数baxy,恒有)(dxayy.(2)不正确.因为xxfxfxx)()(d00,可见0)(dxxxf不仅与)(0xf有关,还与自变量x在该点的增量x有关.(3)正确.这就是本章定理2.1与定理1.2所述.2.求下列函数在x点处的微分yd:(1)xyln;(2)3xy(0x);(3)xy1(0x);(4)22xxy.解:(1)因为xy1,所以xxydd.(2)因为3222332033031)()(1limlim)(xxhxxhxhxhxxyhh,所以,323ddxxy.(3)因为xxhxxxxhxhhxxhxhxxyhhh211lim1lim/1/1lim)(0200,所以,xxxy2dd.(4)因为)1(2)22(lim)2(])()(2[lim)(0220xhxhxxhxhxxyhh,所以xxyd)1(2d.3.求下列函数在0xx点处的微分0dxxy:(1)xycos,20x;(2)xxy1,10x.解:(1)因为xysin,所以xxxyxxddsind2/2/.(2)因为211xy,所以0d0d]11[d121xxxyxx.4.设函数yx,求当10x,1.0x时函数的微分yd.解:因为xxhxhxhxyhh211limlim00,所以05.02d1.011.01
本文标题:高等数学李伟版课后习题答案第二章
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