高三数学第一轮复习：圆的方程及直线与圆的位置关系知识精讲.doc

用心爱心专心高三数学第一轮复习：圆的方程及直线与圆的位置关系【本讲主要内容】圆的方程及直线与圆的位置关系圆的标准方程、圆的一般方程、圆的参数方程、直线和圆的位置关系【知识掌握】【知识点精析】1.圆的标准方程：222xaybr，方程表示圆心为,Cab，半径为r的圆。2.圆的一般方程：022FEyDxyx⑴当0422FED时，表示圆心为,22DE，半径为22142DEF的圆；⑵当2240DEF时，表示一个点,22DE；⑶当0422FED时，它不表示任何图形。3.圆的标准方程与一般方程的比较：圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：①2x和2y的系数相同，都不等于０；②没有xy这样的二次项。二元二次方程220AxBxyCyDxEyF表示圆的充要条件是：①2x和2y的系数相等且不为零，即0AC；②没有xy项，即0B；③0422FED，其中①、②是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件。说明：圆的标准方程和一般方程均含有三个参变量，因此必须有三个独立条件才能确定一个圆；求圆的方程的主要方法为待定系数法。4.圆的参数方程：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标,xy都是某个变数t的函数，即xftygt，并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点,Mxy都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系,xy之间关系的变数叫做参变数，简称参数。cossinxarybr为参数表示圆心为a，b，半径为r的圆。用心爱心专心5.直线与圆的位置关系：⑴点与圆的位置关系：若圆222xaybr，那么点000,Pxy在220202202022020)()()()()()(rbyaxrbyaxrbyax圆外圆内圆上⑵直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。判断方法有两种：①代数法：相交相切＝相离＝判断式00042acb②几何法：圆心到直线的距离为d，相交相切相离rdrdrd说明：在求解直线和圆的问题时，要注意运用：①数形结合的数学思想、尽可能运用圆的几何性质，使解法简捷。如在有关直线与圆的位置关系问题，一般不用判别式，而是用圆心到直线的距离与半径的大小关系求解；直线与圆的交点问题则常用根与系数的关系简化运算过程。②直线与圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程。求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况。③直线与圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题，要注意运用代数定理，引进参数，设点而不求点，简化运算，减少计算量。⑶圆与圆的位置关系：圆与圆的位置关系有五种：相离、外切、相交、内切、内含。设两圆圆心分别为12OO，，则内含内切相交外切＝相离21212121212121212121210rrOOrrOOrrOOrrrrOOrrOO【解题方法指导】例１.根据下列条件，求圆的方程。⑴和圆224xy相外切于点13P，，且半径为４；⑵经过坐标原点和点11P，，并且圆心在直线2310xy上；⑶已知一圆过4213PQ，，，两点，且在y轴上截得的线段长为43。用心爱心专心解析：⑴设圆心Q的坐标为ab，，∵⊙O与⊙Q相外切于P，∴OPQ、、共线，且OQQP，∴6342．由定比分点坐标公式求得3,33ab，∴所求圆的方程为2233316xy⑵显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：222211xyxy，即10xy。解方程组102310xyxy，得圆心C的坐标为4,3．又∵圆的半径5rOC，∴所求圆的方程为224325xy。⑶设圆的方程为220xyDxEyF①将PQ、点的坐标分别代入①，得：4220310DEFDEF，令0x，由①得20yEyF②由已知1243yy，其中12yy、是方程②的两根，∴2221212124448yyyyyyEF．解方程组24220310448DEFDEFEF得2012DEFD=-10，或E=-8F=4，故所求圆的方程为2222212010840xyxxyxy或评述：无论是圆的标准方程还是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此，求圆的方程应有三个条件来求．一般地，已知圆心或半径的条件，选用标准式，否则用一般式。例2.已知⊙C：22122xy，点2,1P，过P作⊙C的切线，切点为A、B。⑴求直线PAPB、的方程；⑵求直线AB的方程。解析：⑴由已知切线的斜率存在，设切线方程为12ykx，即120kxyk∵221221kkdrk，∴2670kk解得7k或1k，∴直线PAPB、的方程为7150xy和10xy用心爱心专心⑵以PC为直径的圆的方程为2230xyxy，已知⊙C：222430xyxy，两式相减便得直线AB的方程为330xy评述：求过圆外一点的圆的切线时，一般要用点到直线的距离等于圆的半径求解。【考点突破】【考点指要】有关直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的题型出现次数较多，既有选择题、填空题，也有解答题，历年高考中所占分值为５～12分，既考查基础知识的应用能力，又考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。考查通常分为三个层次：层次一：考查圆的标准方程、一般方程的求法；层次二：考查直线与圆的三种位置关系；层次三：考查圆的综合问题。解决问题的基本方法和途径有：待定系数法、分类讨论法、等价转化法、数形结合法。【典型例题分析】例3.（2004湖北）已知圆22:1225Cxy，直线:211740lmxmymmR。⑴证明不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；⑵求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程。解析：⑴l的方程为4270xymxy．∵mR，∴27040xyxy，得31xy，即l恒过定点3,1A。∵圆心1,2C，55AC（半径），∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆相交于两点。⑵弦长最小值时，lAC，由12ACk得l的方程为250xy评述：本题利用直线恒经过圆内一点，从而判定直线和圆相交。例4.（2006湖北）已知直线5120xya与圆2220xxy相切，则a的值为____________。答案：８或18解析：圆2220xxy可化为2211xy，得圆心1,0C，半径1r。又直线5120xya与圆2220xxy相切，∴圆心C到直线5120xya的距离等用心爱心专心于圆的半径１，代入点到直线距离公式得22511201512a，解得8a或18a．评述：本题考查直线和圆的位置关系，切线的几何特征是有垂直关系存在，利用圆心到切线的距离等于圆的半径解决比利用判别式“Δ”求解简单。例5.（2006湖南）若圆2244100xyxy上至少有三个不同的点到直线:0laxby的距离为22，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．,124Ｂ．5,1212Ｃ．,63Ｄ．0,2答案：Ｂ解析：由2244100xyxy得2222232xy，可知圆心2,2C，半径32r，故若使圆上至少有三个不同的点到直线的距离为22，结合图形可知只需圆心到直线的距离2d即可，即22222240abababab241023,23aaabbb，∴满足题意的直线l的倾斜角的取值范围是5,1212评述：本题考查直线与圆的位置关系。利用数形结合法先求出特殊位置的直线，再根据题意确定直线位置的变化。【达标测试】一.选择题：１.方程2222210xyaxayaa表示圆，则a的取值范围是（）Ａ.2aＢ.032aＣ.02aＤ.322a2.已知2002AB，，，，C是圆2220xyx上任意一点，则ABC的面积的最大值是（）Ａ.322Ｂ.32Ｃ.6Ｄ.43.以11，和22，为一条直径的两个端点的圆的方程是（）用心爱心专心A.2230xyxyＢ.2230xyxyＣ.225304xyxyＤ.225304xyxy4.若点Pxy，在曲线35cos45sinxy为参数，则使22xy取得最大值的点P的坐标是（）Ａ.68，Ｂ.68，Ｃ.34，Ｄ.34，5.点5112Paa，在圆2211xy的内部，则a的取值范围是（）Ａ.1aＢ.131aＣ.51aＤ.131a6.直线20laxyb：与圆220Cxyaxby：在同一坐标系中的图形只可能是（）ABCD7.若关于x的方程242xkx只有一个实数根，则k的值为（）Ａ.0kＢ.0k或1kＣ.1k或1kＤ.0k或1k或1k8.把直线20xy按向量12a，平移后，所得直线与圆22245xyxy相切，则实数的值为（）Ａ.39Ｂ.13Ｃ.－21Ｄ.－39二.填空题：9.过点2325AB，，，，圆心在直线230xy上的圆的方程是＿＿＿＿。10.若Pxy，在圆22336xy上运动，则yx的最大值为＿＿＿＿。用心爱心专心11.若圆222124Cxymxm：，圆22222484Cxyxmym：相交，则m的取值范围是＿＿＿＿.12.圆222430xyxy上到直线10xy的距离恒为2的点有＿＿＿＿个。三.解答题：13.求圆心在直线4yx上，并且与直线10lxy：相切于点32P，的圆的方程。14.已知两点012ABm，，，，如果经过点A与点B且与x轴相切的圆有且只有一个，求m的值及圆的方程。15.已知圆22:2440Cxyxy，问是否存在斜率为１的直线l，使l被圆C截得弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由。【综合测试】一、选择题：１．（2005重庆）圆2225xy关于原点0,0对称的圆的方程为（）A.2225xyＢ.2225xyＣ.22225xyＤ.2225xy2.（2004重庆）圆222430xyxy的圆心到直线1xy的距离为（）A.2Ｂ.22Ｃ.1Ｄ.23.（2004广东）如图,定圆半径为a,圆心为,bc,则直线0axbyc与直线10xy的交点在（）A.第四象限Ｂ.第三象限Ｃ.第二象限Ｄ.第一象限4.（2004全国Ⅲ）已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3440xy与用心爱心专心圆C相切,则圆C的方程为（）A.22230xyxＢ.2240xyxＣ.22230xyxＤ.2240xyx5.（2006杭州）已知向量2cos,2sin,3cos,3sinab,a与b的夹角为60°,则直线1cossi