《大高考》2016届高考复习数学理 五年高考真题 第九章 平面解析几何 第六节

第六节直线与圆锥曲线的位置关系考点一直线与圆锥曲线的位置关系1．(2015·重庆，10)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a＋a2＋b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A．(－1，0)∪(0，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－2，0)∪(0，2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析由题意A(a，0)，Bc，b2a，Cc，－b2a，由双曲线的对称性知D在x轴上，设D(x，0)，由BD⊥AC得b2a－0c－x·b2aa－c＝－1，解得c－x＝b4a2（c－a），所以c－x＝b4a2（c－a）＜a＋a2＋b2＝a＋c，所以b4a2＜c2－a2＝b2⇒b2a2＜1⇒0＜ba＜1，因此渐近线的斜率取值范围是(－1，0)∪(0，1)，选A.答案A2．(2014·辽宁，10)已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A.12B.23C.34D.43解析∵A(－2，3)在抛物线y2＝2px的准线上，∴－p2＝－2，∴p＝4，∴y2＝8x，设直线AB的方程为x＝k(y－3)－2①，将①与y2＝8x联立，即x＝k（y－3）－2，y2＝8x，得y2－8ky＋24k＋16＝0②，则Δ＝(－8k)2－4(24k＋16)＝0，即2k2－3k－2＝0，解得k＝2或k＝－12(舍去)，将k＝2代入①②解得x＝8，y＝8，即B(8，8)，又F(2，0)，∴kBF＝8－08－2＝43，故选D.答案D3．(2014·新课标全国Ⅱ，10)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.334B.938C.6332D.94解析易知直线AB的方程为y＝33(x－34)，与y2＝3x联立并消去x得4y2－123y－9＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝33，y1y2＝－94.S△OAB＝12|OF|·|y1－y2|＝12×34（y1＋y2）2－4y1y2＝3827＋9＝94.故选D.答案D4．(2013·大纲，8)椭圆C：x24＋y23＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是()A.12，34B.38，34C.12，1D.34，1解析如图：设直线A2M的方程为y＝－(x－2)＝2－x，代入椭圆方程x24＋y23＝1，并整理得7x2－16x＋4＝0，∴2＋x＝167，∴x＝27，∴M点坐标为27，127.设直线A2N的方程为y＝－2(x－2)＝4－2x，同理可得N点坐标为2619，2419，∵kA1M＝12727＋2＝34，kA1N＝24192619＋2＝38.∴直线PA1斜率的取值范围是38，34.答案B5．(2011·全国，10)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB等于()A.45B.35C．－35D．－45解析联立y2＝4x，y＝2x－4.不妨设A在x轴上方，则A(4，4)，B(1，－2)．∵F点的坐标为(1，0)，∴FA→＝(3，4)，FB→＝(0，－2)，∴cos∠AFB＝FA→·FB→|FA→|·|FB→|＝－85×2＝－45.答案D6．(2015·山东，15)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．解析由题意，不妨设直线OA的方程为y＝bax，直线OB的方程为y＝－bax.由y＝bax，x2＝2py，得x2＝2p·bax，∴x＝2pba，y＝2pb2a2，∴A2pba，2pb2a2.设抛物线C2的焦点为F，则F0，p2，∴kAF＝2pb2a2－p22pba.∵△OAB的垂心为F，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，∴2pb2a2－p22pba·－ba＝－1，∴b2a2＝54.设C1的离心率为e，则e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋54＝94.∴e＝32.答案327．(2012·浙江，16)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________.解析曲线C2到l的距离d等于圆心到直线的距离减去半径，即d＝|4|2－2＝2，所以曲线C1到l的距离为2，则曲线C1与直线l不能相交，即x2＋ax，∴x2－x＋a0.设C1：y＝x2＋a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线l的距离d＝|x0－y0|2＝－x0＋x20＋a2＝（x0－12）2＋a－142≥a－142＝2，所以a＝94.答案948．(2015·浙江，19)已知椭圆x22＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋12对称．(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．解(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－1mx＋b.由x22＋y2＝1，y＝－1mx＋b，消去y，得12＋1m2x2－2bmx＋b2－1＝0.因为直线y＝－1mx＋b与椭圆x22＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋4m2＞0，①将AB中点M2mbm2＋2，m2bm2＋2代入直线方程y＝mx＋12解得b＝－m2＋22m2②由①②得m＜－63或m＞63.(2)令t＝1m∈－62，0∪0，62，则|AB|＝t2＋1·－2t4＋2t2＋32t2＋12.且O到直线AB的距离为d＝t2＋12t2＋1.设△AOB的面积为S(t)，所以S(t)＝12|AB|·d＝12－2t2－122＋2≤22.当且仅当t2＝12时，等号成立．故△AOB面积的最大值为22.9．(2015·江苏，18)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．解(1)由题意，得ca＝22且c＋a2c＝3，解得a＝2，c＝1，则b＝1，所以椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.(2)当AB⊥x轴时，AB＝2，又CP＝3，不合题意．当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入椭圆方程，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，则x1，2＝2k2±2（1＋k2）1＋2k2，C的坐标为2k21＋2k2，－k1＋2k2，且AB＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2＝（1＋k2）（x2－x1）2＝22（1＋k2）1＋2k2.若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意．从而k≠0，故直线PC的方程为y＋k1＋2k2＝－1kx－2k21＋2k2，则P点的坐标为－2，5k2＋2k（1＋2k2），从而PC＝2（3k2＋1）1＋k2|k|（1＋2k2）.因为PC＝2AB，所以2（3k2＋1）1＋k2|k|（1＋2k2）＝42（1＋k2）1＋2k2，解得k＝±1.此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.10．(2015·天津，19)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c，0)，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝b24截得的线段的长为c，|FM|＝433.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．解(1)由已知有c2a2＝13，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.设直线FM的斜率为k(k＞0)，F(－c，0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．由已知，有kck2＋12＋c22＝b22，解得k＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x23c2＋y22c2＝1，直线FM的方程为y＝33(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－53c，或x＝c.因为点M在第一象限，可得M的坐标为c，233c.由|FM|＝（c＋c）2＋233c－02＝433.解得c＝1，所以椭圆的方程为x23＋y22＝1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t＝yx＋1，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立．y＝t（x＋1），x23＋y22＝1，消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6，又由已知，得t＝6－2x23（x＋1）2＞2，解得－32＜x＜－1，或－1＜x＜0.设直线OP的斜率为m，得m＝yx，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得m2＝2x2－23.①当x∈－32，－1时，有y＝t(x＋1)＜0，因此m＞0，于是m＝2x2－23，得m∈23，233.②当x∈(－1，0)时，有y＝t(x＋1)＞0.因此m＜0，于是m＝－2x2－23，得m∈－∞，－233.综上，直线OP的斜率的取值范围是－∞，－233∪23，233.11．(2014·北京，19)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．解(1)由题意，椭圆C的标准方程为x24＋y22＝1.所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝2.故椭圆C的离心率e＝ca＝22.(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以OA→·OB→＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－2y0x0.当x0＝t时，y0＝－t22，代入椭圆C的方程，得t＝±2，故直线AB的方程为x＝±2.圆心O到直线AB的距离d＝2.此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝y0－2x0－t(x－t)，即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0.圆心O到直线AB的距离d＝|2x0－ty0|（y0－2）2＋（x0－t）2.又x20＋2y20＝4，t＝－2y0x0，故d＝|2x0＋2y20x0|x20＋y20＋4y20x20＋4＝4＋x20x0x40＋8x20＋162x20＝2.此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．12．(2014·山东，21)已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．(1)求C的方程；(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E.(ⅰ)证明直线AE过定点，并求出定点坐标；(ⅱ)△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．解(1)由题意知Fp2，0.设D(t，0)(t0)，则FD的中点为p＋2t4，0.因为|FA|＝|FD|，由抛物线的定义知3＋p2＝|t－p2|，解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)．由p＋2t4＝3