正弦定理(下)三角形的面积公式

三角形的面积公式湖南省耒阳市振兴学校高中数学老师欧阳文丰制作一、三角形的面积公式：111sinsinsin222ABCSabCbcAacB111222ABCabcSahbhchABCabcha二、三角形的面积公式还有其他表达形式吗?S△＝abc4R，R为外接圆半径．S△＝2R2sinAsinBsinC温故知新ABCabcha因为:ha=bsinC又所以:hb=csinAhc=asinB111222ABCabcSahbhch111sinsinsin222ABCSabCbcAacB三角形面积公式的推导S△＝abc4R，R为外接圆半径．2(sinsinsinabcRRABC为三角形外接圆半径）111sinsinsin222ABCSabCbcAacB因为:所以:三角形面积公式的推导S△＝2R2sinAsinBsinC和三角形面积公式S△＝12(a＋b＋c)r＝pp－ap－bp－c，其中r为△ABC内切圆半径，p为半周长．三角形面积的其他相关公式附:根据已知条件选择适当公式使用。在△ABC中，已知∠B＝30°，AB＝23，AC＝2，求△ABC的面积．例2【分析】要求S△ABC，已知AB、AC，只需求∠A，根据已知条件：两边及一边的对角，用正弦定理可以先求出AB的对角∠C，使问题得到解决．【解】由正弦定理，得sinC＝AB·sinBAC＝32.∵0°＜∠C＜150°，∴∠C＝60°或∠C＝120°.当∠C＝60°时，∠A＝90°，S△ABC＝12AB·AC＝23.当∠C＝120°时，∠A＝30°，S△ABC＝12AB·AC·sinA＝3.∴△ABC的面积为23或3.例3.已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积.BCDA分析:解答本题有几点要弄清,(1)圆内接四边形的性质,(2)四边形的面积计算没有公式,需对四边形进行分割或补形,(3)必须求三角形的一个角.解答一:分割.连结BD,则11sinsin83.22ABCDSABADACBCDC1cos,2A222222cos2cos().BDADABADABACDCBCDCBA即164242cos1636246cos.AA解得所以3sinsin,2AC所以解答二:补形.延长CD,BA交于点E,BCDAE点评:将多边形转化为三角形是解三角形中的一重要手段.EADECD所以,ADEDEACBEBEC即4,624xyyx解得2832,.55xy在△EAD中,根据余弦定理得从而11cos,14E53sin.14E11sinsin83.22ABCDSECEBEEAEDE所以设DE=x,AE=y,由于三角形面积公式S△＝12aha＝12absinC＝abc4R＝12(a＋b＋c)r＝2R2sinAsinBsinC＝pp－ap－bp－c，其中r为△ABC内切圆半径，R为外接圆半径，p为半周长．归纳总结结束寄语•在数学领域中,重视学习的过程比重视学习的结果更为重要.下课了!1、在中，，求的面积S．ABC45,60,BCABC180()75ABC解∴由正弦定理得4426)22)(13(2sinsinABab326)23(4)13(221sin21CabSABC2(31)a111sinsinsin222ABCSabCbcAacB课后补充练习解：设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，由tanB＝3，得B＝60°，∴sinB＝32，cosB＝12.又sinC＝1－cos2C＝223，应用正弦定理，得c＝bsinCsinB＝36×223×32＝8.2在△ABC中，已知tanB＝3，cosC＝13，AC＝36，求△ABC的面积．∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝32×13＋12×223＝36＋23.故S△ABC＝12bcsinA＝62＋83.4.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边，若a=2，,求三角形ABC的面积．25cos25B,4CBAC分析：题中已知三角形中三个条件，故三角形是可解的，根据三角形的面积公式知，只需求出b或c即可.解答：因为，由二倍角公式得：25cos25B43cos,sin.55BB所以272sinsin()sin()(sincos).210ABCBCBB由得sinsinacAC10.7c所以14sin.27ABCSacB