二次函数与方程、不等式的关系(上课)

27.3.实践与探索27.3.2二次函数与二元方程、二次不等式的关系探究一：你的图象与x轴的交点坐标是什么？函数y＝x2－2x－3的图象与x轴两个交点为（－1，0）（3，0）方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1,x2＝3函数图象与x轴交点坐标和方程的两根有什么关系你发现了什么？（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根（2）二次函数的交点问题可以转化为一元二次方程例题精讲1.求二次函数y＝x2＋4x－5与x轴的交点坐标解：令y＝0，则x2＋4x－5＝0解之得，x1＝－5,x2＝1∴交点坐标为：（－5，0）（1，0）结论一：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A（），B（）X1，0X2，0探究2、抛物线与X轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？b2-4ac0b2-4ac=0b2-4ac＜0OXY结论2：抛物线y=ax2+bx+c抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：1、b2-4ac＞0一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根与x轴有两个交点——相交。抛物线y=ax2+bx+c2、b2-4ac=0一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根与x轴有唯一公共点——相切（顶点）。抛物线y=ax2+bx+c3、b2-4ac＜0一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根与x轴没有公共点——相离。.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式=b2-4ac一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点个数有两个不同交点b2-4ac0有一个交点b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac0想一想填一填(,0);(,0)22bbABaa-,0)2ba顶点（二、基础训练1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a=；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是；3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p=，q=。2、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点，则a的范围是。•当x取何值时，y＜0？•当x取何值时，y＞0？•能否用含有x的不等式来描述两个问题？223yxx探究三：你的图象与x轴的交点坐标是什么？xyy＝x2－2x－3根据图象回答下列问题．例题精讲3.已知二次函数y=-x2+3x+4的图象如图；(1)方程-x2+3x+4=0的解是_____(2)不等式-x2+3x+40的解集是____(3)不等式-x2+3x+40的解集是___xyo12345-1-21234-1-2-3-4-5x=-1,x=4X-1或x4-1x46、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在轴下方的条件是（）D（A）a＜0b2-4ac≤0（B）a＜0b2-4ac＞0（C）a＞0b2-4ac＞0（D）a＜0b2-4ac＞0⊿=b2-4acy=ax2+bx+c（a0）图像ax2+bx+c=0（a≠0）的根ax2+bx+c0（a0）解集ax2+bx+c0（a0）解集X2X1xy0OxX1=X2xyxOxy⊿0⊿＝0⊿＜0x1=x2＝－b/2a没有实数根xx1或xx2x≠x1的一切实数所有实数x1xx2无解无解试一试：利用函数图象解下列方程和不等式:1①-x2+x+2=0;②-x2+x+20;③-x2+x+20.2①x2-4x+4=0;②x2-4x+40;③x2-4x+40.3①-x2+x-2=0;②-x2+x-20;③-x2+x-20.Xy02Oxy-12Xy0y=-x2+x+2拓广：•函数y=ax2+bx+c的图像如图，那么1）方程ax2+bx+c=2的根是__________;2）不等式ax2+bx+c2的解集是_________;3）不等式ax2+bx+c2的解集是_________;3-1Oxy2(4,2)(-2,2)X1=-2;X2=4X-2;X4-2X4联想：二次函数与x轴的交点个数可以借助判别式解决，那么二次函数与一次函数的交点个数又该怎么解决呢？例如，二次函数y＝x2－2x－3和一次函数y＝x＋2有交点吗？有几个？分析：两个函数的交点是这两个函数的公共解，先列出方程组，消去y后，再利用判别式判断即可.例题精讲3.二次函数y＝x2－x－3和一次函数y＝x＋b有一个公共点（即相切），求出b的值.解：由题意，得消元，得x2－x－3＝x＋b整理，得x2－2x－（3＋b）＝0∵有唯一交点∴（－2）2＋4（3＋b）＝0解之得，b＝－4y＝x2－x－3y＝x＋b