第11章压杆的稳定性

1工程力学教程电子教案压杆的稳定性第11章压杆的稳定性§11-1关于稳定性的概念§11-2细长中心压杆的临界荷载§11-4压杆的稳定条件和稳定性计算§11-3欧拉公式的适用范围·临界应力总图2工程力学教程电子教案压杆的稳定性实际压杆存在的情况：(1)本身不可能绝对地直；(2)材质不可能绝对地均匀；(3)轴向压力也会有偶然偏心。§11-1关于稳定性的概念压杆是在压缩与弯曲组合变形的状态下工作的。3工程力学教程电子教案压杆的稳定性杆的横截面上的弯矩与杆的弯曲变形程度有关，所以即使在线弹性范围内工作，挠度也不与荷载成线性关系，挠度的增长要比荷载增长来得快。细长压杆始终在线弹性范围内工作，当F=Fu时，它便因挠度迅速增长而丧失继续承受荷载的能力。4工程力学教程电子教案压杆的稳定性中等长度压杆当挠度增大到一定值时，杆便在弯压组合作用下因强度不足而丧失承载能力。求压杆的承载力Fu，可采用两种不同的计算图式：(1)把实际的压杆看作是荷载F有偶然偏心等的小刚度杆(2)把实际的压杆看作是理想的中心压杆。5工程力学教程电子教案压杆的稳定性取第一种计算图式，则得弯矩方程为：M(x)=F(d+e-w)代入挠曲线近似微分方程，利用边界条件得到：)1)/((seclEIFezd如图所示。无论初始偏心距e的大小如何变化，当F→p2EIz/(2l)2时d迅速增长，从而有极限荷载22cr)2(πlEIFz6工程力学教程电子教案压杆的稳定性22cr)2(πlEIFz根据上图所示偏心距e为不同值时的F–d图线可以推想：若将实际压杆看作初始偏心距e为零的理想中心压杆，则其F－d关系应如右图(a)、(b)所示。(a)理想中心压杆(b)F－d关系7工程力学教程电子教案压杆的稳定性当F=Fcr时杆的直线状态的平衡是不稳定的，如果稍受干扰杆便将在任意微弯状态下保持平衡，而不可能再恢复原有的直线状态。由上述分析可见，F达到Fcr，杆便会失去原有直线状态平衡的稳定性——失稳。当F＜Fcr时杆的直线状态的平衡是稳定的。8工程力学教程电子教案压杆的稳定性注意：如果在理论分析中有若干个荷载值均能满足杆保持微弯状态的条件，那么有实际意义的应该是其中的最小值。把理想中心压杆从直线状态的稳定平衡过渡到不稳定平衡的那个荷载值称之为临界荷载Fcr（能保持微弯状态的荷载值）。对于细长中心受压构件杆：Fcr=Fu9工程力学教程电子教案压杆的稳定性§11-2细长中心压杆的临界荷载理想中心压杆的临界荷载Fcr即为杆能保持微弯状态的荷载值。在理论分析中首先找出每一具体情况下杆的挠曲线方程，而方程成立时的荷载就是所求的临界荷载。10工程力学教程电子教案压杆的稳定性考虑左图细长压杆在线弹性、小变形情况下，且不考虑剪切对于变形的影响，则其挠曲线近似微分方程为)()(crwFxMd)()(crwFxMwEIzd则有令,2crkEIFzd22kwkw+dzzEIFwEIFwcrcr+得11工程力学教程电子教案压杆的稳定性得挠曲线方程w=Asinkx+Bcoskx+d由边界条件得A=0，B=－d则w=d(1-coskx)x=0,w=0x=0,w′=0显然，当方程成立时应有dlxw12工程力学教程电子教案压杆的稳定性即d=d(1-coskl)得coskl=0要满足上面的方程，则kl=p/2,3p/2,5p/2,······取其最小值kl=p/2，代入k的表达式，得该压杆的临界荷载22cr)2(πlEIFz＝式中Iz是杆在Fcr作用下微弯时横截面对于中性轴z的惯性矩。13工程力学教程电子教案压杆的稳定性若截面是下面这种形式，则22cr)2(πlEIFy＝14工程力学教程电子教案压杆的稳定性下图为一下端固定、上端铰支、长度为l的等截面中心受压直杆，杆横截面对z轴的惯性矩为I。试推导其临界力Fcr的公式，并求出压杆的挠曲线方程。例题11-115工程力学教程电子教案压杆的稳定性解：在临界力Fcr作用下，根据此压杆支承处的约束情况，有例题11-116工程力学教程电子教案压杆的稳定性代入挠曲线近似微分方程，得则(2)式之通解为2crkEIFz其中)()(ScrxlFwFxM———(1)w=Asinkx+Bcoskx+FS(l-x)/Fcr———(3))(crS22xlFFkwkw+———(2)例题11-117工程力学教程电子教案压杆的稳定性由边界条件x=0,w'=0再由x=0,w=0w′=Akcoskx-Bksinkx-FS/Fcr———(4)得crSkFFA———(5)得crSFlFB———(6)例题11-118工程力学教程电子教案压杆的稳定性将(5)、(6)式代入(3)式有由铰支端处的边界条件x=l,w=0，得杆在微弯状态下平衡时FS不可能等于零，于是必须有)](cossin1[crSxlkxlkxkFFw+———(7)0)cossin1(crSkllklkFF———(8)0cossin1kllklk———(9)例题11-119工程力学教程电子教案压杆的稳定性即klkltan———(10)由上式得kl=4.49———(11)从而有2222cr)7.0(π)49.4(lEIlEIF———(12)相应地由(7)式得挠曲线微分方程)]/1(cossin49.41[crSlxkxkxFlFw+——(13)例题11-120工程力学教程电子教案压杆的稳定性几种理想支端约束条件下的细长压杆当这些压杆都是等截面杆，且均由同一材料制成时，其临界荷载Fcr的计算公式可统一写为22cr)(πlEIFy＝21工程力学教程电子教案压杆的稳定性式中称为长度系数,随杆端约束情况而异；l则称为相当长度，即相当于两端球形铰支压杆的长度。上式称为欧拉公式，如下各图所示。22cr)(πlEIFy＝7.0)7.0(π22crlEIFy1π22crlEIFy22工程力学教程电子教案压杆的稳定性从上述分析可知，中心受压直杆的临界力Fcr与杆端的约束情况有关，杆端的约束越强，临界力越大。5.0)5.0(π22crlEIFy2)2(π22crlEIFy23工程力学教程电子教案压杆的稳定性如图所示两端固定但上端可有水平位移的等截面中心受压直杆，其长度为l，横截面对z轴的惯性矩为I。推导其临界力Fcr的欧拉公式，并求出压杆的挠曲线方程。思考题11-124工程力学教程电子教案压杆的稳定性思考题11-1参考答案：25工程力学教程电子教案压杆的稳定性ecr)(MwFxM挠曲线近似微分方程ecr)(MwFxMwEIz+最后得kl=p22crπlEIFy挠曲线方程)]/πcos(1[2lxwd思考题11-1参考答案：26工程力学教程电子教案压杆的稳定性推导如图变截面压杆临界力Fcr的欧拉公式。思考题11-227工程力学教程电子教案压杆的稳定性在临界力作用下，此杆可在微弯状态下维持平衡，其挠曲线由AD、DE、EB三段组成。由挠曲线光滑连续条件可知：在相邻两段挠曲线的交界点，挠度相等，转角亦相等。此外中点C处的切线应与x轴平行。分段列挠曲线近似微分方程，最后求解得到wFxMcr)(22cr1.68πlEIFy思考题11-2参考答案：28工程力学教程电子教案压杆的稳定性求压杆临界荷载的欧拉公式Fcr=p2EI/(l)2只适用于压杆失稳时仍在线弹性范围内工作的情况，即所研究的是线弹性稳定，是压杆稳定中最基本的情况。应注意：按失稳的概念，在临界荷载作用下尽管压杆的直线状态的平衡是不稳定的，但如果不受干扰，杆仍可在直线状态下保持平衡。§11-3欧拉公式的适用范围·临界应力总图29工程力学教程电子教案压杆的稳定性可以把临界状态下按直杆算得的横截面上的正应力scr=Fcr/A不超过材料的比例极限sp作为欧拉公式适用范围的判别条件，即式中的scr=Fcr/A称为临界应力。引入Fcr的表达式，有式中I/A是一个只与截面形状及尺寸有关的量，通常把它的方根用i表示，即pcrss———(1))()(π)(π/2222crcrAIlEAlEIAFs———(2)AIi/30工程力学教程电子教案压杆的稳定性称i为截面惯性半径。则(2)式可表示为式中l=l/i，为压杆的柔度，亦称长细比。将式(3)代入(1)式，则有p2222crπ)/(πslsEilE或改写为p2πslE2222crπ)/(πlsEilE———(3)AIi/31工程力学教程电子教案压杆的稳定性上式表明，如果压杆的柔度l大于或等于只与材料性质有关的一个量那么欧拉公式适用。对于Q235钢，如取E=2.06×105MPa，比例极限sp=200MPa,则lp=100。p2πslEp2pπslE32工程力学教程电子教案压杆的稳定性右图示出了细长压杆临界应力scr随柔度l的变化情况，以及欧拉公式的适用范围。应该注意的是：“l≥lp时欧拉公式可用”系按理想中心压杆得到的。事实上，对于l比lp大得不太多的实际压杆，由于有偶然偏心等，就会在弯压组合下因强度不足而丧失承载能力，因此欧拉公式不适用。33工程力学教程电子教案压杆的稳定性我国钢结构设计规范中对于由Q235钢制成的压杆，根据试验资料规定，对于l≥lc，而不是l≥lp的压杆才能用欧拉公式求临界应力，而)57.0(πs2cslE该规范还规定，对于l＜lc的钢压杆，临界应力的计算式采用抛物线型的半经验公式])/(1[2cscrllss34工程力学教程电子教案压杆的稳定性对于Q235钢制成的压杆，=0.43。])/(1[2cscrllss临界应力总图（s－l）35工程力学教程电子教案压杆的稳定性几个概念：(1)细长压杆（大柔度压杆）能应用欧拉公式求临界应力的压杆。(2)短压杆是指柔度特别小的（其临界应力接近于材料的强度）杆。(3)中长压杆是指柔度特别大的杆。36工程力学教程电子教案压杆的稳定性§11-4压杆的稳定条件和稳定性计算要保证压杆在荷载作用下不致失稳且有一定的安全储备，其条件是式中的nst为稳定的安全因数。stcrnFF相应地有stcrnss或stss式中[sst]稳定许用应力，它是随压杆柔度l变化的一个量。37工程力学教程电子教案压杆的稳定性在有些工程计算中，更把稳定许用应力[sst]通过一个随压杆柔度l变化的稳定系数j(l)与杆材料的强度许用应力[s]加以联系，即sljs)(st38工程力学教程电子教案压杆的稳定性一端固定，另一端铰支的空心圆截面钢压杆。已知：l=5m,D=100mm,d=50mm，E=2.0×105MPa，sp=200MPa，ss=240MPa，nst=2.5。求许用轴向压力F。例题11-239工程力学教程电子教案压杆的稳定性查得一端固定一端铰支压杆的长度系数为=0.7(1)计算压杆的柔度，判明欧拉公式是否可用解：)/4-(π)/64-(π4444dDAdDI惯性半径AIi/则125/Ill对于Q235钢制作的压杆，l≥lc时可用欧拉公式求临界力。例题11-240工程力学教程电子教案压杆的稳定性而有l≥lc，故欧拉公式可用。(2)求临界力Fcr，再根据给定的稳定安全因数nst，求许用压力[F]现120)57.0/(πs2cslE此压杆横截面对于形心轴的惯性矩为46-44m104.60)/64-(πdDI故有临界力741kNN1041.7m)57.0(m1060.4m/N100.2π)(π5224621122crlEIF＝例题11-241工程力学教程电子教案压杆的稳定性这种直接根据稳定安全因数对压杆稳定计算的方法称为稳定安全因数法。而许用轴向压力为kN2962.5kN741stcrnFF例题11-242工程力学教程电子教案压杆的稳定性