2011年浙江高考数学理科试卷(带详解)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）理科数学一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设函数2,0,()()4,0.xxfxfxx若„,则实数=（）A.4或2B.4或2C.2或4D.2或2【测量目标】分段函数.【考查方式】已知分段函数的解析式，给出定值求出此时自变量的值.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】当0„时，()4,4f；当0时，2()4,2f.2.把复数z的共轭复数记作z，i为虚数单位，若1iz,则(1)zz=（）A.3iB.3+iC.1+3iD.3【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数，结合共轭复数的特点，求出关于复数的代数运算.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】∵1iz，∴1iz，∴(1)z(11i)(1i)3iz.3.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）第3题图ABCD【测量目标】平面图形的直观图与三视图.【考查方式】直接给出三视图，求其直观图.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】由正视图可排除A、B选项；由俯视图可排除C选项.4.下列命题中错误的是()A.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C.如果平面平面，平面平面，=l，那么l平面D.如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【测量目标】面面垂直的判定和面面平行的判定.【考查方式】已知面面之间的关系，判断结果正误.【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】若这条线是平面和平面的交线l，则交线l在平面内，明显可得交线l在平面内，所以交线l不可能垂直于平面，平面内所有直线都垂直于平面是错误的.5.设实数,xy满足不等式组250270,0xyxyxy＞＞，0.厖若,xy为整数，则34xy的最小值是（）A.14B.16C.17D.19【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】已知不等式组，求出目标函数的最值.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】可行域如图所示第5题图联立072052yxyx，解之得13yx，又∵边界线为虚线取不到，且目标函数线的斜率为43，∴当yxz43过点（4，1）时，有最小值16.6.若π02＜＜，π02＜＜，π1cos()43，π3cos()423，则cos()2A.33B.33C.539D.69【测量目标】两角和与差的余弦.【考查方式】给出两个余弦角的值和角度的范围，通过与所求角余弦的关系，求出结果.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】∵π1cos()43，π02，∴π22sin()43，又∵π3cos()423，π02，∴π6sin()423（步骤1）∴ππcos()cos[()()]2442＝ππππcos()cos()sin()sin()442442＝132263333＝935.（步骤2）7.若,ab为实数，则“01ab＜＜”是1ab＜或1ba＞的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】结合不等式的性质考查充分、必要条件.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】当0,0ba时，由10ab两边同除b可得ba1成立；（步骤1）当0,0ba时，两边同除以a可得ab1成立，∴“10ab”是“ba1或ab1”的充分条件，由ba1或ab1得不到10ab.（步骤2）8.已知椭圆22122:1(0)xyCabab＞＞与双曲线222:14yCx有公共的焦点，2C的一条渐近线与以1C的长轴为直径的圆相交于,AB两点，若1C恰好将线段AB三等分，则（）A.2132aB.213aC.212bD.22b【测量目标】椭圆和双曲线的简单几何性质.【考查方式】给出双曲线的方程，通过与椭圆的几何关系，求出椭圆的长轴和短轴.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】由双曲线422yx＝1知渐近线方程为2yx，又∵椭圆与双曲线有公共焦点，∴椭圆方程可化为22xb＋225by＝225bb，联立直线xy2与椭圆方程消y得，20552222bbbx，（步骤1）又∵1C将线段AB三等分，∴3220552212222abbb，解之得212b.（步骤2）9.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率（）A.15B.25C.35D.45【测量目标】古典概型和组合数的应用.【考查方式】根据题目不同书的摆放条件，通过组合的应用，求出概率.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】由古典概型的概率公式得222322223322552AAAAAA21A5P.10.设a，b，c为实数，)1)1()(),)(()(22bxcxaxxgcbxxaxxf（.记集合S=()0,,()0,,xfxxTxgxxRR若S，T分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能．．．的是（）A.S=1且T=0B.1=1ST且C.S=2且T=2D.S=2且T=3【测量目标】集合的表示（描述法）和判断含参一元二次方程的解.【考查方式】给出两个集合，参数不同的情况下，求出集合含有元素的个数.【难易程度】较难【参考答案】D【试题解析】当0cba时，1S且0||T；（步骤1）当0a且240bac时，1S且1T；（步骤2）当20,40abac且bac(例如a=1c=3,b=4)时，2S且2T.（步骤3）非选择题部分（共100分）二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分）.11.若函数2()fxxxa为偶函数，则实数a.【测量目标】偶函数.【考查方式】给出函数的解析式，利用偶函数的性质，求参数.【难易程度】容易【参考答案】0【试题解析】∵)(xf为偶函数，∴)()(xfxf，即,||)(||22axaxaxxaxx∴0a.12.若某程序图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是.第12题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】已知程序框图，运行得出结果.【难易程度】容易【参考答案】5【试题解析】3k时，34a＝64，43b＝81，ba；（步骤1）4k时，44a＝256，44b＝256，ba；（步骤2）5k时，54a＝2564，45b＝625，ba.（步骤3）13.设二项式)0()(6axax的展开式中3x的系数为A,常数项为B，若B=4A，则a的值是.【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出二项式，通过二项式定理和某项系数与常数项的关系，求出参数.【难易程度】中等【参考答案】2【试题解析】由题意得3662166CCkkkkkkkaTxaxx，∴226CAa，446CBa，又∵AB4，（步骤1）∴446Ca2264Ca，解之得42a，又∵0a，∴2a.（步骤2）14.若平面向量α，β满足|α|„1，|β|„1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角的取值范围是.【测量目标】平面向量的夹角问题.【考查方式】已知两个向量的模和它们在几何体中的关系，求出它们的夹角范围.【难易程度】容易【参考答案】π5[,π]66【试题解析】由题意得：21sin，∵1„，1„，∴11sin22…，又∵(0,π)，∴π5π[,]66.15.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙丙公司面试的概率为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试得公司个数.若1(0)12PX，则随机变量X的数学期望()EX.【测量目标】离散型随机变量的期望.【考查方式】题目给出已知条件，求出随机变量的数学期望.【难易程度】中等【参考答案】35【试题解析】∵12132102pXP，∴21p.（步骤1）∴31221312132122XP，125213122132222XP，61213232XP，（步骤2）∴3561312523111210XE.（步骤3）16.设,xy为实数，若2241,xyxy则2xy的最大值是.【测量目标】函数的最值.【考查方式】利用给出的函数方程，求未知函数的最值.【难易程度】中等【参考答案】5102【试题解析】∵1422xyyx，∴13)2(2xyyx，即23(2)212xyxy，（步骤1）∴2232(2)()122xyxy„，解之得：28(2)5xy„，即210210255xy剟.（步骤2）17.设12,FF分别为椭圆2213xy的焦点，点,AB在椭圆上，若125FAFB;则点A的坐标是.【测量目标】椭圆的简单几何性质.【考查方式】给出椭圆的标准方程和关于焦点向量的等式，求出坐标.【难易程度】较难【参考答案】0,1【试题解析】设直线AF1的反向延长线与椭圆交于点B，又∵125FAFB，由椭圆的对称性可得115FABF，设11,yxA，22,yxB，（步骤1）由于椭圆2213xy的3,1,2abc，126,(2,0).33ceFa又∵1163232FAx，1263232FBx，从而有：163232x=5263232x（步骤2）由于121232323,3,0,0,22xxxx剟即1632()32x=52632()32x（步骤3）32212325()2xx.①又三点1,,AFB共线，115FABF112212((2),0)5(2,0)25(2).xyxyxx②由①+②得：11,y∴点A的坐标为(0,1)或（0，-1）.（步骤4）三、解答题;本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本题满分14分）在ABC△中，角ABC、、所对的边分别为a,b,c.已知sinsinsin,ACpBpR且214acb.（Ⅰ）当5,14pb时，求,ac的值；(Ⅱ)若角B为锐角，求p的取值范围；【测量目标】余弦定理、正弦定理.【考查方式】给出三角形的角的相互关系和边的相互关系，利用正弦定理和余弦定理，求出题中未知量.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）由题设并利用正弦定理，得5414acac解得114ac或141ac.（步骤1）（Ⅱ）由余弦定理，b2=a2+c2-2accosB=2()22cosacacacB=p2b22211cos,22bbB即231cos,22pB因为0cos1,B得23(,2)2p，由题设知0p，所以622p.（步骤2）19.（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}na的首项1a为a(aR),设数列的前n项和为nS，且11a，21a，41a成等比数列.（1）求数列{}na的通项公式及nS；（2）记1231111...nnASSSS，212221111...nnBaaaa，当2n…时，试比较nA与nB的大小.【测量目标】等差数列和等比数