函数的极值与导数习题

[学业水平训练]1．下列四个函数中，能在x＝0处取得极值的函数是()①y＝x3②y＝x2＋1③y＝|x|④y＝2xA．①②B．②③C．③④D．①③解析：选B.①④为单调函数，不存在极值．2．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是()A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值D．无极值解析：选D．∵y′＝1－11＋x2(x2＋1)′＝1－2xx2＋1＝x－12x2＋1，令y′＝0，得x＝1，当x＞1时，y′＞0，当x＜1时，y′＞0，∴函数无极值．3．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则()A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：选C．当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．4．已知函数f(x)，x∈R有唯一极值，且当x＝1时，f(x)存在极小值，则()A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0解析：选C．f(x)在x＝1时存在极小值，则当x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.5．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A．(2,3)B．(3，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－∞，3)解析：选B.因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，所以有f′(2)＝0，而f′(x)＝6x2＋2ax＋36，代入得a＝－15.现令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个增区间是(3，＋∞)．6．函数y＝3x3－9x＋5的极大值为________．解析：y′＝9x2－9.令y′＝0，得x＝±1.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)y′＋0－0＋y单调递增↗极大值单调递减↘极小值单调递增↗从上表可以看出，当x＝－1时，函数y有极大值3×(－1)3－9×(－1)＋5＝11.答案：117．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导数f′(x)的图象如图所示，则函数的极小值是________．解析：由图象可知，当x＜0时，f′(x)＜0，当0＜x＜2时，f′(x)＞0，故x＝0时函数f(x)取极小值f(0)＝C．答案：c8．已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－23时都取得极值，则a＝________，b＝________.解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，令f′(x)＝0，由题设知x1＝1与x2＝－23为f′(x)＝0的解．∴－23a＝1－23b3＝1×－23，∴a＝－12b＝－2.答案：－12－29．求下列函数的极值：(1)f(x)＝x2e－x；(2)f(x)＝lnxx.解：(1)函数的定义域为R.f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘0↗4e－2↘由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0.当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝4e2.(2)函数f(x)＝lnxx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－lnxx2.令f′(x)＝0，即1－lnxx2＝0，得x＝e.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：X(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)↗1e↘由表可知，当x＝e时，函数的极大值是1e.10．已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.(1)求a，b的值；(2)求函数y的极小值．解：(1)y′＝3ax2＋2bx，由题意，得当x＝1时，y′|x＝1＝3a＋2b＝0，y|x＝1＝a＋b＝3，即3a＋2b＝0，a＋b＝3，解得a＝－6，b＝9.(2)由(1)知y＝－6x3＋9x2，则y′＝－18x2＋18x.令y′＝0，得x＝0或x＝1，经检验知x＝0是函数的极小值点，故y极小值＝y|x＝0＝0.[高考水平训练]1．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是()A．1＜a＜2B．1＜a＜4C．2＜a＜4D．a＞4或a＜1解析：选B.y′＝3x2－3a.当a≤0时，f′(x)≥0，函数y＝x3－3ax＋a为单调函数，不合题意，舍去；当a＞0时，y′＝3x2－3a＝0⇒x＝±a，不难分析当1＜a＜2，即1＜a＜4时，函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值．2．(2014·绵阳高二检测)函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下面四个判断．①f(x)在区间[－2，－1]上是增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；④x＝3是f(x)的极小值点．其中，所有正确判断的序号是________．解析：由题中函数y＝f(x)的导函数的图象可知：f(x)在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上为增函数，在[2,4]上为减函数．f(x)在x＝－1处取得极小值，在x＝2处取得极大值．故②③正确．答案：②③3．已知函数y＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，且其图象在x＝1处的切线与直线6x＋2y＋5＝0平行．(1)求函数的单调区间；(2)求函数的极大值与极小值的差．解：y′＝3x2＋6ax＋3b.∵x＝2是函数的极值点，∴12＋12a＋3b＝0，即4＋4a＋b＝0，①又图象在x＝1处的切线与直线6x＋2y＋5＝0平行，∴y′|x＝1＝3＋6a＋3b＝－3，即2a＋b＋2＝0.②由①②解得a＝－1，b＝0，此时y′＝3x2－6x＝3x(x－2)．(1)令y′＞0，得3x(x－2)＞0，解得x＜0或x＞2，令y′＜0，得3x(x－2)＜0，解得0＜x＜2，∴函数的单调减区间为(0,2)，单调增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．(2)由(1)可以断定x＝0是极大值点，x＝2是极小值点，又y＝f(x)＝x3－3x2＋c，∴y极大值－y极小值＝f(0)－f(2)＝c－(8－12＋c)＝4.4．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？解：(1)f′(x)＝3x2－2x－1.令f′(x)＝0，则x＝－13或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－13)－13(－13，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)的极大值是f(－13)＝527＋a，极小值是f(1)＝a－1.(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)＞0，x取足够小的负数时，有f(x)＜0，曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f(－13)＝527＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值＜0或f(x)极小值＞0，即527＋a＜0或a－1＞0，∴a＜－527或a＞1，∴当a∈(－∞，－527)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．