余弦定理 课件

复习回顾正弦定理：CcBbAasinsinsinR2可以解决两类有关三角形的问题?（1）已知两角和任一边。（2）已知两边和一边的对角。CRcBRbARasin2,sin2,sin2变型：CBAcbasin:sin:sin::CBAabcAbcAcbAcbbcAAcbCBaAbcAbcCBAabcc2＞a2+b2c2＜a2+b2看一看想一想直角三角形中的边a、b不变，角C进行变动勾股定理仍成立吗？c2=a2+b2是寻找解题思路的最佳途径c=AcbCBa∣AB∣c2==ABABAB=AC+CBABAB=(AC+CB)(AC+CB)算一算试试！联想0222∴AB=AC+2ACCBcos(180-C)+CB证明：222∴c=a+b-2abcosC向量法)()(CBACCBACABABCBACABCBCBCBACACAC2若ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求证：bcABCaCabbaccos2222证明CBA同理可证：证明：2b+2c－2bc·Acos=2AC＋2AB－2·AC·AB·Acos=2AC+2AB－2·AC·AB=（AC－AB）2=2BC=2BC=2a2b=2a＋2c－2·bc·Bcos2c=2a＋2b－2·Cabcos格式二：逆用公式cosabab证明证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：(cos,sin)AbCbC222∴c=a+b-2abcosCxy(,0)Ba(0,0)C解析法222)0sin()cos(CbaCbABCbaCabCb22222sincos2cosCabbacos222证明ABCabcD当角C为锐角时几何法bAacCBD当角C为钝角时CBAabc余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。证明证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosAABCcba222CDBDa22(sin)(cos)bAcbA222222coscossinAAbcAcbb222cosbcAcb同理有：2222cosacBacb2222cosabCcab当然，对于钝角三角形来说，证明类似，课后自己完成。D余弦定理a2=b2+c2-2bc·cosAb2=c2+a2-2ca·cosBc2=a2+b2-2ab·cosC你能用文字说明吗？CBAabc三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。归纳变一变乐在其中CBAabca2=b2+c2-2bc·cosAb2=c2+a2-2ca·cosBc2=a2+b2-2ab·cosCb2+c2-a22bccosA=c2+a2-b22cacosB=a2+b2-c22abcosC=变形归纳思考：已知两边及一边的对角时，我们知道可用正弦定理来解三角形，想一想能不能用余弦定理来解这个三角形？如：已知b=4,c=,C=60°求边a.练一练：1、已知△ABC的三边为、2、1，求它的最大内角。解：不妨设三角形的三边分别为a=,b=2,c=1则最大内角为∠A由余弦定理cosA=12+22-()22×2×1=-—12∴A=120°变一变：若已知三边的比是:2:1,又怎么求？再练：2、已知△ABC中AB=2、AC=3、A=，求BC的长及面积。解：由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cosA=4+9-2×2×3×=7∴BC=思考：（1）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判定三角形ABC的形状分析：三角形ABC的形状是由大边b所对的大角B决定的。222(,)90180cBba（2）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求三角形ABC的面积分析：三角形的面积公式S=absinC=bcsinA=acsinB,只需先求出cosC(cosA或cosB),然后求出sinC(sinA或sinB）代入面积公式即可。1212122.余弦定理a=b+c-2bccosAb=c+a-2accosBc=a+b-2abcosC222222222222b+c-acosA=，2bc222c+a-bcosB=，2ca222a+b-ccosC=2ab3.由余弦定理知1.证明定理:课堂小结22290Aacb22290Aacb22290Aacb向量法、解析法、几何法（1）已知三边求三个角；222b+cacosA=-2bc222a+cbcosB=-2ac222a+bccosC=-2ab（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.5.余弦定理的作用（3）判断三角形的形状，求三角形的面积a=b+c-2bccosAb=c+a-2accosBc=a+b-2abcosC2222222224.余弦定理适用于任何三角形作业布置