最优捕鱼策略

数学建模第七讲最优捕鱼策略一、问题的提出为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源(如渔业、林业资源等）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是：在可实现持续收获的前提下，求最大产量或最佳效益。考虑对某种鱼（鳀鱼）的最有捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组：称为1龄鱼，2龄鱼，3龄鱼,4龄鱼.各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99(克)；各年龄组的自然死亡率为0.8(1/年)；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，1龄鱼和2龄鱼不产卵,产卵和孵化期为每年最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼,成活率（1龄鱼条数与产卵量n之比）为1.22109/(1.22109+n)。渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称为捕捞强度系数。通常用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。1.建立数学模型分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总量）。2.某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。已知承包时各年龄组鱼群数量分别为：122，29.7，10.1,3.29(109条),如果固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高。1.问题一的分析1）对于死亡率a的理解我们定义平均死亡率a是单位时间鱼群死亡数量与现有鱼群数量的正比例系数。由假设条件它是一个与环境等其它因素无关的常数。由于鱼群是连续变化的，而1，2龄鱼全年以上及3,4龄鱼在后四个月的数量只与死亡率有关,与其它因数无关。设鱼群数量为x，则在时间[t,t+△t]内，鱼群数量的减少等于鱼群的死亡数量，即二、问题分析)()()(taxttxttx两边同时取t0时的极限()(1)dxaxtdtttaxtxttx)()()(两边同时除以t时，得2）对捕捞强度系数的理解题目已假定捕捞强度系数k一定，且只在捕捞期内(即每年的前八个月）捕捞3、4龄鱼，因此只会影响3、4龄鱼鱼群的数量，而不会影响其它的鱼群数量。我们可以看到3、4龄鱼鱼群的数量在捕捞期内不仅与k有关，而且还与死亡率a有关，类似于1）的分析，可以得到3龄鱼鱼群(前8个月）的数量变化规律)()(.)(2420tkxtaxdtdx)()()(3tkxtaxdtdx类似可得到4龄鱼群（前8个月）的数量变化规律3）对于持续捕获的理解随着时间的推移，各年龄组的鱼群数量必将发生变化，但持续捕获要求每年开始捕捞时渔场中各年龄鱼群条数不变，再根据鱼群的生长规律，我们可以得到关系式：上一年龄组鱼群年底的数量等于下一年龄组鱼群年初的数量（1龄鱼除外），即)(.,,)()(4432011jxxjj4）对成活率m的理解又由假设可知，此种鱼在每年8月第一次产卵完毕，又已知3、4龄鱼每条产卵的个数，因此可将每年的产卵量n表示为)(..5323250101091435xxn又已知成活率11111.2210(6)1.2210mn产卵量与成活率的乘积就是1龄鱼每年年初的数量，即1(0)(7)nmx5）对最高收获量的描述根据第2）点的分析，在t时刻的捕捞重量等于3龄鱼捕捞重量与4龄鱼捕捞重量之和，即)()()(.)(84204433gtkxgtkxts由于捕捞被看成连续的作业，因此捕捞总收获量即年收获量可以用t时刻的捕捞量s(t)关于t在捕捞期内的积分,即)()(9320dttsH要求最高的年收获量，即求H的最大值。6)四龄鱼在年末进行的两个假设(1)4龄鱼在年末与鱼群总数量相比十分微小，它们既不产卵，又不会被捕捞。可以将它们忽略不计，令其退出系统。(2)未死亡的4龄鱼在年末的各个特征（重量、产卵个数等）均不发生改变，即仍会到4龄鱼组中。1龄鱼2龄鱼4龄鱼3龄鱼产卵孵化7）模型建立的思路（1）以第6）点的第一个假设为基础，建立一个简单的模型一，其实只是联立以上分析的几个方程为一个方程组。（2）以第6）点的第二个假设为基础，即将方程组中方程x4(0)=x3(1)改变为x4(0)=x3(1)+x4(1)得模型二。（3）假设鱼群产卵过程是一种连续的过程，使假设更加接近于实际情况，得到模型三。2.对于问题二的分析1)与问题一的相似之处由于对各年龄组鱼群数量起到影响作用的各因素(如：平均死亡率、成活率、捕捞期等）不变，因此，在每年内各年龄组的鱼群数量变化情况与问题一相同。2）与问题一的不同之处（1）问题一要求持续捕获，问题二要求鱼量不受太大的破坏，不限制各年龄组年初鱼群的数量，因此作为约束条件的方程组中各年龄组的鱼群数量肯定与年数有关，而不像问题一是一个常量。2)问题一中的各变量呈周期变化，因此，只要考虑一个周期的变化情况即可。而问题二则不同，其各年的初值在变化，因此，要考虑每一年的捕获量，在将5年的捕获量求和，得到一个目标函数。3.根据优化问题提出三个模型模型一：考虑每年的捕捞强度系数相同，转化为一元函数最优值的问题。模型二：考虑每年的捕捞强度系数不同，得到一个多元函数的最优值问题。模型三：对问题中不太大破坏程度下个定义，再给出一个破坏程度的惩罚因子，利用多元函数最优值的求解方法进行求解。4.不太大破坏程度的定义由于4龄鱼4年死亡及两年的捕捞造成的数量减少远远大于其它年龄组的鱼，以致到末期时的数量相对于整个鱼群的数量是十分微小的。因此4龄鱼的减少量对生产能力的破坏可以忽略不计，而只考虑1、2、3龄鱼的数量要求。不妨定义不太大破坏程度为第1、2、3龄鱼减少数量不得大于初始数量的某个百分比，在模型三中，我们取30%。三、模型假设1.虽然鱼群本身是离散的，但是突然增加或减少的只是个体，与整体相比很小，因此我们可以认为大规模鱼是随时间连续变化的。2.根据已知条件，我们可以认为鱼在每年8月底瞬间将卵全部产完，而卵在12月底全部孵化完毕。3.4龄鱼在第4年末未死亡或未被捕获的数量占全部数量的比例很小,因此可以认为全部死亡或认为还是4龄鱼.4.持续捕获是各年龄组的鱼群数量呈周期性变化,周期为一年,因此可以只考虑鱼群数量在一年内的变化情况.5.不考虑环境影响,各年龄组平均死亡率为0.8%/年.6.参数说明a——表示年平均固定死亡率，单位1/年;t——表示时间，t[0,1];j——表示j龄鱼，j=1,2,3,4；gj——表示每条j龄鱼的平均重量,单位：g;m——表示每条4龄鱼的产卵量；关于问题一的参数说明k——表示年平均捕捞率；n——表示每年的产卵量;xj(t)——表示j龄鱼在时刻t的数量；sj(t)——表示t时刻j龄鱼的捕捞总重量，j=3,4；H——表示年总收获量，即捕捞总重量。关于问题二的参数说明i——表示年数，i{1,2,3,4,5};k——表示年平均捕捞率；ni——表示第i年的产卵量;xi,j(t)——表示j龄鱼在第i年时刻t的数量；Si,j(t)——表示t时刻j龄鱼第i年的捕捞总重量,j=3,4；Hi——表示第i年总收获量，即捕捞总重量。五、模型建立问题一模型一：在假设4龄鱼年底退出系统和连续捕获前提下如何得到最高捕获量。由问题的分析，可以得到下列优化问题：230max()Hstdt目标函数1122323333233424434243()(),[0,1],()(),[0,1],()()0.42(),[0,],.()(),[,1],()()(),[0,],()(),[,1].dxtaxttdtdxtaxttdtdxtaxtkxttdtstdxtaxttdtdxtaxtkxttdtdxtaxttdt.,,)()(432011jxxjj将上式代入目标函数中得到H关于k的一元函数，在利用一维搜索法求一元函数的最小值方法，求得H的最大值为3.887×105(吨)，捕捞强度系数k=17.36。求解得111132511.22101.2210(0)1.10910axep2(10.42)20.42233310.5kkapee2(10.42)5332(0.42)3231111325221.22101.2210(0)1.109100.51kaakakaxepepee再重复模型二的步骤解得Hmax=3.887×105(吨），捕捞强度系数k=17.36。模型二：假设4龄鱼年末的特征不变，仍做4龄鱼，则在持续捕捞的情况下，求最大捕获量。此模型类似于模型一，也可得到优化问题，区别仅将x4(0)=x3(1)改变为x4(0)=x3(1)+x4(1)，同理解得模型三：实际生活中，遇的产卵过程不可能瞬间完成，它应该是一个连续的过程，但鱼在各个时刻的的数量不同，且产卵比例未知，因此问题非常复杂。为了简化模型，我们用8月底瞬间产卵量和12月底产卵量的几何平均值来代替连续的总产量，即5331.10910(0)npx15656232.840.2830.51akakkaepee同理可解得Hmax=3.876×105(吨），捕捞强度系数k=17.02。问题二在已知初始鱼量的情况下，制定一个最优策略，使承包5年的公司在生产能力破坏不太大的前提下，获得最大捕鱼量。根据问题的分析可以得到为数学模型5143itstsH)()(maxmax目标函数,1,1,2,2,32,3,33,32,33,42,4,43,42,4()(),[0,1],()(),[0,1],()()0.42(),[0,],.()(),[,1],()()(),[0,],()(),[iiiiiiiiiiiiiiiidxtaxttdtdxtaxttdtdxtaxtkxttdtstdxtaxttdtdxtaxtkxttdtdxtaxttdt3,1].,11,(1)(0)2,3,4.ijijxxj模型一：令每一年的捕捞强度系数为一固定值，即k=ki;这样与问题一相似，利用一元函数求最值得方法，可得到Hmax=1.605×106(吨），捕捞强度系数k=17.58。模型二：假设每年的捕捞强度系数不同，即ki与i相关，且相互独立，则上面的优化问题可利用下坡单纯形多元函数极值解法求得可得到Hmax=1.615×106(吨），捕捞强度系数k1=13.18,k2=14.35,k3=28.46,k4=32.42,k5=26.62.模型三：由分析中的生产能力不太大破坏程度的假设，给一个惩罚因子：当p30%时，r(p)=-m×e5p，而当p30%时，r(p)=0（m=1012），将其加到优化的约束条件中，利用单纯刑法可求得k1=12.82,k2=13.55,k3=33.95,k4=30.95,k5=26.40.六、模型结果的检验1.各模型结果的横向比较：经过计算机的多次运行,各模型的结果都能稳定在一个或一组数值左右，说明界的稳定性较好。2.各模型结果的纵向比较：（1）问题一中模型一、二、三的解非常近似，说明4龄鱼在年末的鱼量对问题的解影响不大，正好与假设3吻合，说明了假设3的合理性。（2）在解模型一、二时，可以看到x3(0)关于k的表达式只差一个系数，当k取模型一的解时，这个系数几乎为1，这正好说明了两个目标函数接近的原因。（3）问题一的模型一与问题二的模型一相比较，可以看出这两个k也非常接近，通过对最后结果的分析，我们可以看到第二问的初值与第一问的稳定值比较接近。（4）最后一个模型的结果告诉我们在第1，2年里捕捞强度系数较小，主要是投资阶段。第3，4年的捕捞强度系数较大，主要