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矢量三角形法在力的平衡问题中的妙用学生在解静态平衡问题时,通常运用平行四边形定则运算,难度不算大。可一旦转入多个力的求和问题,对于动态平衡问题,用正交分解法取代平行四边形法则,虽然可以使问题简化,但计算仍显得繁琐。如果遇上了动态平衡的问题,因疑点增多,解破起来颇感棘手,若用矢量三角形法则求解,却能一改平行四边形法则和正交分解法繁琐的计算程序,可谓之柳暗花明。下面让我们上起来学习矢量三角形法在静态平衡、动态平衡和运动的合成问题中的妙用.。•θ•一、矢量三角形的建立矢量三角形1:两分力的合力为,构成平行四边形,如图1甲,该平行四边形含有两个全等的三角形,每一个三角形都包含了三个矢量的大小和方向,因此,如果我们只取其中的一个三角形,如图1乙,利用三角形知识求力的问题,则很多力学问题就会变的简单的多了。图1乙中矢量三角形的数学表达式为:矢量三角形2:三个力使物体处于平衡状态,如图2甲,由力的平衡知识知道,F1、F2合力与力F3等大、反向,如果把F3平移到F3/的位置上,则构成如图2乙的三角形。图2乙中矢量三角形的数学表达式为:结论:三力合力为零的条件:1.矢量三角形在力的静态平衡问题中的应用二、矢量三角形的解题应用若物体受到三个力(不只三个力时可以先合成三个力)的作用而处于平衡状态,则这三个力一定能构成一个力的矢量三角形。三角形三边的长度对应三个力的大小,夹角确定各力的方向例1.如图所示,一个物体受到七个力的作用,其中构成一个等六边形,已知,则求物体受到的合外力的大小。解析:根据矢量三角形1可以知道力F1、F2合力大小等于力F8,力F8与力F3合力大小等于力F7,即合力的大小等于力F7;同理可知F6、F5、F4合力的大小等于力F7,所以物体受到的合外力的大小等于例2.如图所示,光滑的小球静止在斜面和木版之间,已知球重为G,斜面的倾角为θ,求下列情况下小球对斜面和挡板的压力?(1)、挡板竖直放置(2)、挡板与斜面垂直分析与解答:小球受力如图所示,小球在重力、斜面的支持力和挡板的支持力三个力共同的作用下处于平衡状态,因其中两力之和恰好与第三力大小相等方向相反,故这三个力可构成力的三角形:GN1N2GN2N1由矢量三角形的边角关系可知:当挡板竖直放置时,N1=GtgθN2=G/cosθ当挡板与斜面垂直放置时,N1=GsinθN2=Gcosθ这样比我们建立直角坐标,再利用正交分解法来求解就简单多了。2.矢量三角形在力的动态平衡问题中的应用例3.如图所示,光滑的小球静止在斜面和竖直放置的木板之间,已知球重为G,斜面的倾角为θ,现使木板沿逆时针方向绕O点缓慢移动,求小球对斜面和挡板的压力怎样变化?分析与解答:分析小球受力如图所示,小球受重力、斜面的支持力和挡板的支持力,在者三个力的作用下处于平衡状态,这三个力可构成力的三角形(如右图所示)挡板绕O点缓慢移动,可视为动态平衡。因挡板对小球的支持力N1的方向与水平方向之间的夹角由900缓慢变小,重力的大小和方向都不变,斜面的支持力N2的方向也不变,由矢量三角形知斜面的支持力N2必将变小,而挡板的支持力N1将先变小后变大GN2N1θGN2N1θGN1N2θO例4.如图4所示,电灯悬挂于O点,三根绳子的拉力分别为TA、TB、TC,保持O点的位置不变,绳子的悬点B也不变,则悬点A向上移动的过程中,下列说法正确的是()A、TA、TB一直减少;B、TA一直增大,TB一直减少;C、TA先增大后减少,TB先减少后增大;D、TA先减少后增大,TB一直减少;AOBC图4析:对于这道题,若用常规的正交分解法,先求出TA、TB的表达式,再分析当θ角(TA与水平方向所成的夹角)改变时TA、TB的大小变化,问题自然会变得相当复杂,而且也不能一眼就可看出正确的结果。若利用矢量三角形,可作如下的分析:若O点始终处于平衡状态,且只受TA、TB、TC三个力作用,则这三个力构成如下图所示的矢量三角形。在A点位置向上移动的过程中,因TC的大小和方向始终不变,TB的方向也不变,即在力的三角形中,TC的长度和方向不变,TB与TC的夹角大小不变,A点向上移动,且TA与水平方向的夹角由90度逐渐变小,由矢量三角形图的变化可知,TA先减少后增大,而TB则一直减少。答案为D。TBTATC=G图5例5.如图所示,两个光滑的球体,直径均为d,置于直径为D的圆桶内,且dD2d,在相互接触的三点A、B、C受到的作用力分别为F1、F2、F3,如果将桶的直径加大,但仍小于2d,则F1、F2、F3的变化情况是()A.F1增大,F2不变,F3增大;B.F1减少,F2不变,F3减少;C.F1减少,F2减少,F3增大;D.F1增大,F2减少,F3减少;分析:由整体法易知F2的大小不变,再隔离分析上面的小球,小球受重力G、桶向左的支持力F和下面小球斜向上的支持力N三个力的作用,且处于平衡状态,这三个力构成矢量三角形,G的大小和方向都不变,F的方向始终水平向左,当桶的直径增大时,N与水平方向的夹角变小,由矢量三角形图知F增大,所以答案为A。FGN3.构建矢量三角形,处理最值问题:例6.如图所示,在轻质细线的下端悬挂一个质量为m的物体,若用力F拉物体,使细线偏离竖直方向的夹角为α角,且保持α角不变,求拉力F的最小值。解析:以m物体为研究对象,绳的张力与对m的拉力F的合力F”与物体A的重力等大反向,由于绳的张力的方向不变,根据图解可以看出,当F垂直于力时,F取最小值。,4.构建矢量三角形,找出几何三角形,利用三角形相似解题正确作出力的三角形后,如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形(几何三角形)相似,则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系,从而达到求未知量的目的。例7、半径为的球形物体固定在水平地面上,球心正上方有一光滑的小滑轮,滑轮到球面的距离为,轻绳的一端系一小球,靠放在半球上的点,另一端绕过定滑轮后用力拉住,使小球静止,如图1-1所示,现缓慢地拉绳,在使小球由到的过程中,半球对小球的支持力和绳对小球的拉力的大小变化的情况是()解析:如图所示,对小球:受力平衡,由于缓慢地拉绳,所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态,其中重力不变,支持力,绳子的拉力一直在改变,但是总形成封闭的动态三角形(图中小阴影三角形)。由于在这个三角形中有四个变量:支持力的大小和方向、绳子的拉力的大小和方向,所以还要利用其它条件。实物(小球、绳、球面的球心)形成的三角形也是一个动态的封闭三角形(图中大阴影三角形),并且始终与三力形成的封闭三角形相似,RNRhmgLTmgRhLT可得:mgRhRN运动过程中L变小,T变小。运动中各量均为定值,支持力不变。正确答案D。则有如下比例式:
本文标题:矢量三角形法在力的平衡问题中的妙用
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