第5章--倒易点阵及其应用-2012-4-15

Ayoungmanseesasunsetand,unabletounderstandortoexpresstheemotionthatitrousesinhim,concludesthatitmustbethegatewaytoaworldthatliesbeyond.…Thegleamsofsunsetconveyahintofbeautyandserenitygreaterthanwehaveknownorimagined.Greatertoothanwecandescribe,forlanguage,whichwasinventedtoconveythemeaningsofthisworld,cannotreadilybefittedtotheusesofanother.(NewConceptEnglishⅣ,24Beauty)一个年轻人看到日落，由于无法理解和表达日落在他心中唤起的激情，便得出结论，日落处想必是通往遥远世界的大门。…日落所产生的光芒给予我们一种不曾经历和无法想象的美感和静谧（mi）的启示。这种美感和静谧是我们无法描述的，因为我们发明的语言是用来描述这个世界的含义，不能随便拿来去描述另外一个世界。第5章倒易点阵及其应用倒易点阵，美若星辰!PaulPeterEwaldGermanphysicistandcrystallographer(1888.1.22-1985.8.22)第1节Ewald图解法圆的平面几何*2sinrOGr1r90°θOO*GA2θ*12sinOGrAO[uvw]O*θ2θNkk’gr=1/λG衍射几何法向2sind112sind*12sinOG*1OGd*//ONOG显然:特点：衍射几何同时满足布拉格衍射条件和圆的几何条件．如果我们定义衍射面(hkl)的法向量的模为1／d，则法向量与衍射面具有一一对应关系，这样我们就可以用衍射面的法向量表示衍射面．显然，衍射面(hkl)的法向量为向量O*G．根据圆的平面几何，只有Ｇ点处于圆周上，上述关系才成立．也就是说，以O*为起点的衍射面的法向量，只要它的终点落在反射球面上，该衍射面就符合布拉格条件．这种用圆的几何图解方式表示布拉格方程的方法称为厄瓦尔德图解法．2sind*1OGd(hkl)厄瓦尔德反射球第2节倒易点阵的概念及产生倒易点阵的概念倒易点阵是晶体学中极为重要的概念。利用倒易点阵不仅可以简化晶体学中的某些计算问题，并且可以形象地解释晶体的衍射现象。从数学上讲，所谓倒易点阵就是按照一定的倒易关系，由正点阵派生的一种几何图像。一般地讲，正点阵是直接从晶体结构中抽象出来的，而倒易点阵则是从正点阵演算出来的。从物理学上讲，正点阵与晶体结构直接相关，正点阵描述的是晶体中原子的分布规律，是实际物质空间，称为正空间；倒易点阵则与衍射现象有关，它描述衍射方向等问题。倒易点阵所在的空间称为倒易空间，简称倒空间。神秘的倒易空间看得见的虚幻世界！1.灯丝；2.栅级；3.阳极；4.枪倾斜；5.枪平移；6.一级聚光镜；7.二级聚光镜；8.聚光镜光栏；9.光倾斜；10.光平移；11.试样台；12.物镜；13.物镜光栏；14.选区光栏；15.中间物镜；16.投影镜；17.荧光屏。透射电子显微镜电子衍射的装置正空间倒空间正空间样品背焦面荧光屏样品杆像平面O[uvw]O*θ法向量N(hkl)gr=1/λ晶体的倒易点阵显然，只有反射球面上的点才满足布拉格衍射条件反射球第3节倒易点阵的数学定义从数学上讲，倒易点阵是由正点阵派生的一种几何图像．那么正点阵所处的正空间与倒点阵所在的倒易空间之间必然存在一种转换关系．根据线性代数有关线性空间的知识：在n维欧几里德空间，n个线性无关的n维向量组可以构成一个欧氏空间的基，任一向量可由这个向量组表示．因此，两个空间之间的关系就是两个空间的基之间的转换关系．1.倒易点阵的定义设正点阵的原点为O，基矢为a、b、c，倒易空间的原点为O*，基矢为a*、b*、c*，V、V*分别为正、倒空间点阵中单胞的体积。则有：***,,()()()bccaababcVVVVabcbcacab(1)正、倒点阵基矢关系**********1,0,00,1,00,0,11aaabacbabbbccacbccVV(2)倒易点阵晶胞参数sinsin***sincoscos*sinsincoscos*sinsincoscos*sinsin,,coscoscosacabbcVVVxosxosxosabc(3)对于立方晶系***111***,,90abcabca*∥a，b*∥b，c*∥c2.倒易点阵的特点①同名的正、倒空间基矢之间点乘等于1，异名的正、倒空间基矢点乘的结果等于0；②倒易点阵的矢量r*=ha*+kb*+lc*在方向上与正空间的同名晶面(hkl)垂直，其模在数值上为正空间点阵中同名晶面(hkl)的面间距的倒数；可以用该倒易点代表与之对应的正空间的晶面。倒易空间中的一个点代表的是正空间中的一组晶面。③(hkl)⊥[hkl]*，[uvw]∥(hkl)，[uvw]⊥[hkl]*，[uvw]⊥[hkl]。然而只有在立方点阵中[hkl]*=[hkl]（即(hkl)⊥[hkl]，[hkl]为同名晶面(hkl)的法线）才成立，非立方点阵不一定成立；④对于初基点阵来说，正空间属于何种点阵类型，其对应的倒易点阵也会属于相同的点阵类型；对于非初基点阵：底心点阵的倒易点阵仍然是底心点阵，体心点阵的倒易点阵是面心点阵，而面心点阵的倒易点阵则是体心点阵。第4节正—倒空间点阵类型(100)1.正点阵-倒点阵点阵类型转换（简单点阵）acbxyzOa*c*b*xzO*y(100)(100)(001)(001)(010)(010)(111)(111)(110)(101)(011)正点阵倒点阵消光条件：h、k、l无限制OO*(222)(220)(020)(022)(202)(200)(002)(111)正点阵倒点阵2.正点阵（面心点阵）-倒点阵类型转换消光条件：h、k、l奇偶混杂abca*b*c*O*(222)(220)(020)(022)(202)(200)(112)正点阵倒点阵3.正点阵（体心点阵）-倒点阵类型转换O(002)(101)(011)(121)(211)(110)消光条件：h+k+l=奇数abca*b*c*(111)思考题１．基本概念：正点阵、倒易点阵；正空间、倒易空间．２．倒易点阵的特点．３．正、倒空间点阵类型转换关系．第5节倒易点阵基本定理定理：倒易矢量ghkl=ha*+kb*+lc*垂直于对应正空间的(hkl)衍射面，并且矢量长度|ghkl|等于(hkl)面间距dhkl的倒数。(hkl)ghkl=ha*+kb*+lc*xyzabcOABC(,0,0)ah(0,,0)bk(0,0,)cl(hkl)***,,()()()110hklhklhkhkllhklabABOBOAhkabABghakblchkABgACgBCgghkl同理可证,证明：(1)（2）设n为（hkl）法向的单位向量．***()11hklhklhklhklhklabchakblcadnnnhklhggdg***()hklhakblcng推论：正空间晶向[uvw]与倒空间平面(uvw)*垂直。()hklghkl正、倒点阵中的面线关系几何要素正点阵倒点阵关系晶面晶面（hkl）倒易矢量g[hkl]*（hkl）⊥g[hkl]*晶带轴晶向矢量r[uvw]倒易面(uvw)*r[uvw]⊥(uvw)*面线关系r[uvw]∥（hkl）g[hkl]*∥(uvw)*平行第6节倒易点阵的应用1.倒易空间中的衍射条件AO[uvw]O*θ2θNkk’gr=1/λG反射球倒易点阵衍射的矢量方程：OO*+O*G=OGOG-OO*=O*G设k、k’分别为r=1时向量OO*、OG，则OO*=r·kOG=r·k’令O*G=gr(k’-k)=g11112sin2sin:2sinhklhklddhklgd即1'kkg（）1'kkg（）衍射的矢量方程：2.解释发生衍射的限定条件O[uvw]O*O[uvw]O[uvw]AAA极限球反射球2g12d2d2sindsin12d2d3.解释衍射产生的具体方式对于单色波波长λ恒定，即反射球半径1/λ恒定；对于固定不动的单晶样品，其对应的倒易点阵是固定不动的。此时，只有落在反射球上的倒易点才能满足衍射条件。若在此条件下，如果入射波方向固定，即入射线与晶面(hkl)的夹角θ不变，倒易点刚好落在反射球上的几率是非常小的，很难有衍射产生。解决上述问题的方法有三种，即三种常见的衍射实验方法：单晶劳埃法、周转晶体法和多晶衍射法。①单晶劳埃法采用连续波长的多色波照射不动的单晶体。连续波的波长变化有一个范围，从最大λmax到最小λmin，对应的反射球半径从最小1/λmax到最大1/λmin。这些反射球的球面在倒易圆点O*相切。凡是落到这两个球面之间区域的倒易点均满足衍射条件，它们将与某一波长的反射球面相交而获得衍射。O*反射球反射球max11min1②周转晶体法周转晶体法是采用单色波照射单晶体，让晶体绕某一已知的主晶轴旋转，借助圆筒形底片来记录衍射花样。在实验过程中，当晶体绕某一晶轴旋转，相当于其倒易点阵围绕过倒易圆点O*且与反射球相切的轴线转动，各个倒易点将瞬时地通过反射球面的某一位置，处在与旋转轴垂直的同一平面上的倒易点，将与反射球面相交于同一水平的圆周上。衍射矢量从球心出发，必定终止于这个圆上，也就是说衍射光束必定位于同一圆锥面上从而在底片上形成一系列的衍射层线。OO*1③多晶衍射法采用单色波照射多晶样品。多晶由无数个任意取向的小晶粒组成，相当于单晶围绕所有可能的轴线旋转，所以其某一晶面（hkl）的倒易点在4π立体空间中均匀分布，形成一个半径为1/d的球面，称之为倒易球面。这些倒易球面与反射球相交后，将得到一系列同心圆，衍射线由反射球心指向该圆上的各点，从而形成半顶为2θ的衍射锥。如果在垂直入射线方向放置一张底片，用于接收衍射信息，则得到一系列衍射环花样，称之为德拜环；如果利用衍射仪计数器，计数器沿反射圆周运动以接收不同方位的衍射线强度，就得到一系列峰状衍射谱。OO*1底片4.证明晶带定律证：∵[uvw]∥(hkl)，[hkl]⊥(hkl)∴[uvw]⊥[hkl]又∵ruvw=ua+vb+wc，Nhkl=ha+kb+lc。∴ruvw·Nhkl=0∴hu+kv+lw=00hukvlw晶带定律：Rightorwrong?[hkl]⊥(hkl)?例：求简单正交点阵（110）晶面的法向量。解：Oab（110）[110]N[uvw]222222121001[]00100000aabbcbuhvGkawl1111************()()0()()()0hakblcuavbwchuaahvabhackubakvbbkwbclucalvcblwcc*********1,0,00,1,00,0,1aaabacbabbbccacbcc0hukvlw根据倒点阵基本定理，倒易矢量ghkl*=ha*+kb*+lc*垂直于正空间的（hkl）晶面；而正空间晶带轴矢量ruvw=ua+vb+wc平行于（hkl）晶面。因此，ghkl*⊥ruvw，即ghkl*·ruvw=0正空间倒空间[uvw]根据晶带定律，在正空间，尽管存在晶带轴[uvw]与晶向[hkl]垂直的关系，