07第七章 等距抽样

第七章等距抽样第一节等距抽样概述第二节等距抽样的实施方法第三节总体参数的估计第四节其它形式的等距抽样第一节等距抽样概述一、等距抽样的概念等距抽样也称系统抽样或机械抽样。它是将总体各抽样单元按一定的标志和顺序排列以后，每隔一定的距离(间隔)抽取一个单元组成样本进行调查。二、排序标志等距抽样需要有作为排序依据的辅助标志。排序标志各式各样，可自由选择，但归纳起来，可分为两类，即无关标志和有关标志，它们对等距抽样的作用和相应的估计精度各有不同的影响。1、按无关标志排序所谓无关标志排序，即用来对总体单元进行排序的标志，与所要调查研究的标志是不同性质的，二者没有任何必然的关系。如研究人口的收入状况时，按身份证号码、按门牌号码排序非常方便，一般说来，这些号码与调查项目没有关系，因此可以认为总体单元的次序排列是随机的，所以也有人直接称无关标志排序的等距抽样为无序等距抽样。2、按有关标志排序所谓有关标志排序，即用来对总体单元规定排列次序的辅助标志，与调查标志具有共同性质或密切关系。这种排序标志，在我国抽样调查实践中有广泛应用，如农产量调查，以本年平均亩产为调查变量，以往年已知平均亩产作为排序标志。利用这些辅助标志排序，有利于提高等距抽样的抽样效果。三、等距抽样的特点(1)将总体各单元按一定的顺序排列后再抽样，使得样本单元的分布更加均匀，因而样本也就更具代表性，比简单随机抽样更精确，在某些场合下甚至可以不用抽样框。并且如果能够利用好样本的相应顺序在总体中均匀分布这一特点，则容易形成一个按比例样本。(2)等距抽样简单明了，快速经济，操作灵活方便，使用面广，是单阶段抽样中变化最多的一种抽样技术。等距抽样最初用于森林和土地使用情况的调查，后来经过汉森、麦多、科克伦等学者的努力，使其成为当今家计调查、记录抽样、空间抽样、工业抽样和为普查取得附加信息及估计非抽样误差的一种常用方法。在我国，等距抽样已成了最主要、最基本的抽样方式，一些大规模的抽样调查，如农产量抽样调查、城乡住户调查、产品质量抽样检查中都普遍采用了等距抽样。(3)当N=nK时，等距抽样就等同于每层只抽一个单元的分层抽样或群的大小相等时只抽一个群的整群抽样。因为，这时，总体各单元可排列成如下方式：y11y21…yi1yk1y12y22…yi2yk2┋┋┋┋┋y1ny2n…yinykn(4)等距抽样的样本常被视为一个集体单元，一般不计算样本调查变量的方差，所以它只能抽象地进行理论分析，而不能对抽样方差进行估计。(5)若总体中的单元呈周期性的变化，等距抽样的精度可能很高也可能很差。这时要慎重地选择K。第二节等距抽样的实施方法一、随机起点等距抽样二、循环等距抽样三、中点等距抽样四、对称等距抽样法五、两端修正法六、总体有周期性变化时的等距抽样七、累计和等距抽样一、随机起点等距抽样随机起点等距抽样就是前面概念所描述的方法。具体地说，它是在总体单元排序后的第1至K单元之间(第一个抽样间隔之内)随机抽取一个整数i，以它作为起始单元的编号，以后按固定的顺序和间隔依次在每个间隔之内各抽取一个单元组成等距样本，则整个样本是由以下编号的单元所组成的。i+(j-1)K(j=1，2,…,n)由于N不一定恰好是K的整数倍，所以按上述方法得到的等距样本的样本量可能为为避免这种样本量不能确定的情况，确保样本量为n，1952年拉希里提出了循环等距抽样的方法。1][][KNnKNn或二、循环等距抽样在N≠nK时，把总体中的N个单元按一定顺序排列成一个首尾相接的环(圆形图)，取最接近于N/n的整数为抽样间隔K，然后在1到N的单元中，随机抽取一个单元(设为第i单元)作为起点，再沿着圆圈按一定方向每间隔K抽取一个单元，直到抽够n个单元为止。按此方法，可以保证样本量n不变。不过此时首尾两个样本单元的间隔不一定恰好为K，它可能小于K，也可能大于K。中，循环等距抽样从本质上看仍然是随机起点等距抽样。我们注意到，当N=nK时，在上述两种抽样实施方法中，无论按哪一种方法，总体中每个单元的入样概率都相等，从而是一种严格的等概率抽样。但当N≠nK时，按第一种方法每一个单元的入样概率依赖于初始值i，对不同的i，稍有不同。以下为了处理方便，我们假定N总是n的整数倍。在实际工作中，若n充分大，则由于N/n非整数而带来的影响就充分小，可以忽略不计。三、中点等距抽样1953年麦多为克服随机起点等距抽样容易产生系统性偏差的缺点，提出中点等距抽样(即抽取中心位置的样本)法：计算出抽样间隔K后，以第一组的组中点为起点，等距抽取单元组成样本。如果K为奇数，以（K+1）/2为起点，K为偶数，以K/2或(K+2)/2为起点。四、对称等距抽样法对称等距抽样也是针对有序等距抽样所提出的，其基本思想是使低标志值的单元与高标志值的单元在样本中对等出现。从而使样本的偏差缩小，代表性增强。由于具体的方法不同，对称等距抽样又有几种类型。1.塞蒂的方法——两两对称等距抽样1965年塞蒂提出了一种新的等距抽样方法——对称等距抽样法，以克服总体的线性趋势对估计效率的影响。设N=nK,n为偶数。抽样时，先把总体单元分成n/2个抽样间隔，使每一抽样间隔含有2K个单元。然后，在每一抽样间隔内，抽取分别与两端距离相等的两个单元，这样共抽取n个单元组成等距样本。即：如果随机起点为i，则在第一个抽样间隔所抽两个样本单元的号码分别为i及2K-i+1；在第二个抽样间隔所抽两个样本单元号码为i+2K及2(2K)-i+1；如此，最后在第n/2个抽样间隔所抽两个样本单元号码分别为i+(n-2)K及nK-i+1。一般，若随机起为i，则抽中的n/2对样本单元的号码可以表示为i+2jK,2(j+1)K-i+1］[j=0,1,…,(n/2)-1]]当n为奇数时，式中的j由0变到(n-1)/2-1为止，并且，要加上接近末端的第i+(n-1)K个单元。实际中，为便于对称等距抽样的实施，当N=nK时，可以将原来由小到大(或由大到小)顺序排列的单元按照顺逆交替的次序排列在一个表中，这样，按随机起点等距抽样所抽取的样本即为对称等距样本。所谓顺逆交替是指在单元的排序中，若第一间隔由小到大排序，则第二间隔按由大到小排序，以此类推。2、辛的修正方法——中心对称等距抽样1968年，辛等人提出另一种对称等距抽样法——中心对称等距抽样法。即在有序排列的总体单元中，从两端划分抽样间隔。并从两端的抽样间隔开始，成对地抽取到两端距离相等的单元组成等距样本。这里，仍假定N=nK。当n为偶数时，若随机起点为i，则与之对称的样本单元号为倒数第一个抽样间隔中的N-i+1；与第二个抽样间隔中i+K对称的是倒数第二个抽样间隔的(N-K)-i+1；如此，一直抽到中间两个抽样间隔为止。一般，以i(i=1，2，…，K)为随机起点的n/2对对称等距样本单元的号码可以表示为：［i+jK,(N-jK)-i+1］,[j=0,1,…,(n/2)-1]当n为奇数时，式中的j由0变到[(n-1)/2]-1为止。然后，再加上中间一个抽样间隔中的第i+(n-1)K/2个单元。(我国抽样调查工作者提出在中间一个抽样间隔抽取中点处的一个单元。)五、两端修正法抽样方法同随机起点等距抽样时的情形。但在计算总体均值的估计量时，对第一个和最后一个样本单元加权，其余单元的权数仍为1(在除以n以前)，以矫正由于起点不在中心位置而引起的系统偏差。1、耶茨的方法：设N=nK，i为1～K中的随机数，则两端的样本单元的权数分别为：其中“+”号用于第一个样本单元，“-”号用于第n个样本单元(下同)。当总体单元具有严格的线性趋势时，加权的样本均值就是总体均值。KnKin)1(2)12(12、具尔豪斯与拉奥的方法适用于N≠nK的情况，并采用循环等距抽样法，设i为1～N中的随机数。(1)若i+(n-1)K≤N，这时n个样本单元不经过yN，则第1个样本单元和第n个样本单元的权数分别为:KnNKnin)1(2)]1()1(2[1(2)若i+(n-1)KN，设yN以后的样本单元有n2个，则第1个样本单元和第n个样本单元的权数分别为：]2)1()1(2[)1(212nNNnNKniKnn六、总体有周期性变化时的等距抽样有一些总体，其单元的标志值在随时间的自然排列顺序中，会呈现某种明显或不明显的周期变化趋势。如季节性消费商品的销售量，随一年四季的变化而呈现出周期变化。还有些总体，反映出不明显的周期影响。对有周期变化趋势的总体进行等距抽样时，抽样间隔K的选择，对估计效率的影响是极为重要的。为了说明问题，我们不妨假定总体单元标志值的变化为一正弦曲线。七、累计和等距抽样以上所讨论的等距抽样都是以各单元大小相同为前提的，是等概率抽样。如果抽样单元的大小不同，且单元的大小又与调查变量相关时，用上述方法就不大合适了，此时，应采用不等概率抽样。其基本思路是：在总体各单元按某一标志排序后，累计各单元的大小Mi(当各抽样单元的大小用所含下一阶单元的数目表示时，也可直接累计其下一阶单元数)并进行编码，以总的累计数除以n作为抽样间隔，用K表示，然后在最初的1到K个数中随机确定一个数j(1≤j≤K)，j所对应的单元即为第一个被抽中单元，以后每间隔K抽取一个随机数，并按同样的方法确定出对应的单元作为样本单元，组成等距样本。累计和等距抽样的原理同上一章所讨论的群大小不等时群的代码法，此法在实际工作中经常用到。例：某街道50家企业，要调查企业生产经营状况。在按工商登记注册资金排序后，下表列出了企业的职工人数及累计人数：第三节总体参数的估计一、等概率抽样的情形为讨论方便，仍假设N=nK,则在如下的排列形式中，有：(i=1,2,…,K)njijiyny11y11y21…yi1yk1y12y22…yi2yk2┋┋┋┋┋y1ny2n…yinykn(一)估计量设等距样本为表中第i列单元，且i是随机决定的，总体均值的估计量用表示，则:是的无偏估计。若N≠nK，则上述估计量是有偏的，但当n充分大时，其偏倚可以充分小。njijisyynyy11Y(二)估计量的方差如前所述，如果总体单元是按无关标志排列的，则其方差可按简单随机抽样去做。若总体单元是按有关标志排列的，则此时的等距抽样可以看作是整群抽样或分层抽样的特例，因此，等距抽样估计量的方差可以比照整群抽样或分层抽样的方法构造，有几种表示方法。1、用等距样本内(群内)方差表示设等距样本为表中第i列单元，且i是随机决定的，则：其中：为等距样本(群)内方差；S２为总体方差。22)1(1)(wsysySNnKSNNyV22)()1(1injijKiwsyyynKS这表明，当等距样本内部的方差大于整个总体方差时，等距抽样比简单随机抽样有更高的精度。因此，为了提高等距抽样的精度，只要有可能就在对总体单元排序时尽可能扩大各等距样本内的差异。当且仅当时，等距抽样比简单随机抽样精度高。22SSwsy2、用等距样本内(群内)相关系数表示其中:wsy],)1(1[1)(2wsysynSNnNyV))(()1)(1(2)()()(22YyYySNnYyEYyEYyEKinujiuijijiuijwsy为同一等距样本内(群内)成对的单元之间的相关系数。当的值大于0时，方差的值就会变大。3、用同一等距样本内单元对关于层平均值的相关系数表示其中为层内方差；wsy)(syyV])1(1[)(2wstwstsynNnNnSyV22)()1(1hKiijnhwstyyKnS恰为比例分配分层随机抽样的方差;是第h层即第h间隔的平均值;NnNnSwst2KiihhyKy11KinuhwstuiuhihhihuiuhihwstSyyyyNnnyyEyyEyyE22))(()1)(1(2)()()(是等距样本内单位对