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信号与系统SignalsandSystems普通高等教育“十一五”国家级规划教材《信号与系统》陈后金,胡健,薛健高等教育出版社,2007年信号的频域分析连续周期信号的频域分析连续非周期信号的频域分析离散周期信号的频域分析离散非周期信号的频域分析信号的时域抽样和频域抽样连续周期信号的频域分析周期信号的傅里叶级数表示周期信号的频谱傅里叶级数的基本性质周期信号的功率谱三、傅里叶级数的基本性质线性特性nnCtxCtx2211)(~,)(~若nnCaCatxatxa22112211)(~)(~则有对称特性||||nnCC则nn若为实信号)(~tx三、傅里叶级数的基本性质时移特性)(~nCtx若ntnCttx00j0e)(~则有MntMCtx0je)(~则有频移特性)(~nCtx若三、傅里叶级数的基本性质卷积性质微分特性nnCtxCtx2211)(~,)(~nnCCTtxtx21021)(~*)(~则有)(~nCtx若nCntx0j)('~则有若均是周期为T0的周期信号,且)(~)(~21txtx和例1求图示周期信号的傅里叶级数t)(~tx-1-21234-321-4t)(~1tx-1-21234-32-4t)(~2tx-1-21234-31-4)2πcos()2π(Sa5.0)(~12tnntxn)2πcos()2π(Sa5.1)(~1tnntxn)(~)(~)(~21txtxtx四、周期信号的功率谱物理意义:任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。周期信号的功率频谱:|Cn|2随n0分布情况称为周期信号的功率频谱,简称功率谱。帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理22/2/2000d|)(~|1nn=TTCttxTP例2试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2p/t)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1,T0=1/4,t=1/20。解:周期矩形脉冲的傅里叶系数为)2(Sa00ttnTACn将A=1,T0=1/4,t=1/20,0=2p/T0=8p代入上式)5/π(Sa2.0)40/(Sa2.00nnCn2t2tAt0T)(~tx0T例2试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2p/t)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1,T0=1/4,t=1/20。2t2tAt0T)(~tx0T解:包含在有效带宽(0~2p/t)内的各谐波平均功率为41=22044=21||2||nnnnCCCP—1806.0%90200.01806.01PP信号的平均功率为2.0d)(~12/2/2000TTttxTP例2试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2p/t)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1,T0=1/4,t=1/20。2t2tAt0T)(~tx0T2nC0n8pπ40π40251周期信号的功率谱)5π(Sa25122nCn)5/π(Sa2.0nCn例3tttttx0000j2jjj2e2e34e3e2)(~求其功率。解:22/2/2000d)(~1nnTTCttxTP40C31C22C422343222222P1)2)tttx002cos4cos64)(~424216214222P吉伯斯(Gibbs)现象用有限次谐波分量来近似原信号,在不连续点出现过冲,过冲峰值不随谐波分量增加而减少,且为跳变值的9%。吉伯斯现象产生原因时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性,使得在间断点傅里叶级数出现非一致收敛。-2-1.5-1-0.500.511.52-0.200.20.40.60.811.2-2-1.5-1-0.500.511.52-0.200.20.40.60.811.2-2-1.5-1-0.500.511.52-0.200.20.40.60.811.2-2-1.5-1-0.500.511.52-0.200.20.40.60.811.2N=5N=15N=50N=500吉伯斯(Gibbs)现象分析问题使用的数学工具为傅里叶级数最重要概念:频谱函数要点1.频谱的定义、物理意义2.频谱的特点3.频谱的性质,应用性质分析复杂信号的频谱4.功率谱的概念及在工程中的应用连续非周期信号的频域分析连续时间信号的傅氏变换及其频谱常见连续时间信号的频谱连续时间傅氏变换的性质一、连续时间信号的傅氏变换及其频谱从傅里叶级数到傅里叶变换傅里叶反变换周期信号频谱与非周期信号频谱的区别非周期矩形脉冲信号的频谱分析1、从傅里叶级数到傅里叶变换讨论周期T0增加对离散谱的影响:周期为T0宽度为t的周期矩形脉冲的Fourier系数为)2(Sa00ttnTACn00limlimfCCTnTnT)j(X1、从傅里叶级数到傅里叶变换ttxTCTTnnde)(~122tj0000ttxttxCTtTTTtnTnTde)(limde)(~limlimj22j0000000ttxCTXtnTde)(lim)j(j0X(j)称为非周期信号的频谱,其是单位频率所具有的信号频谱,也称为非周期信号的频谱密度函数。2、傅里叶反变换)(~lim)(0txtxTtnnnTC00j=elimtnnTX00j0=eπ2)j(lim—de)j(π21)(jtXtx物理意义:非周期信号可以分解为无数个频率为,复振幅为[X(j)/2p]d的虚指数信号ejt的线性组合。T0,记n0=,0=2p/T0=d,3、周期信号频谱与非周期信号频谱的区别(1)周期信号的频谱为离散频谱,非周期信号的频谱为连续频谱。(2)周期信号的频谱为Cn的分布,表示每个谐波分量的复振幅;非周期信号的频谱为X(j)的分布,[X(j)/2p]d表示合成谐波分量的复振幅。两者关系:nTCTX00lim)j(00)j(nnTXCde)j(π21)(jtωXtxttxXde)()j(tj傅里叶正变换:傅里叶反变换:符号表示:)]j([)()]([)j(1XFtxtxFX)j()(XtxF或4、傅里叶变换的符号表示及存在条件狄里赫莱条件狄里赫莱条件是充分条件,但不是必要条件(1)非周期信号在无限区间上绝对可积(2)在任意有限区间内,信号只有有限个最大值和最小值。(3)在任意有限区间内,信号仅有有限个不连续点,且这些点必须是有限值。ttxd)(例试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数。2t2ttA)(tx解:非周期矩形脉冲信号x(t)的时域表示式为2/||02/||)(ttttAtx,,由傅里叶正变换定义式,可得tAttxXttdede)()j(22jjtt)2(SattAtπ2tπ2At)j(X分析:2.周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的连续频谱等间隔抽样求得3.信号在时域有限,则在频域将无限延续。4.信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点之间,工程中往往将此宽度作为有效带宽。5.脉冲宽度t越窄,有效带宽越宽,高频分量越多。即信号信息量大、传输速度快,传送信号所占用的频带越宽。1.非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱,其形状与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。
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