【高考复习方案 】2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第22讲 正弦定理和余弦定理

第22讲正弦定理和余弦定理•双向固基础•点面讲考向•多元提能力•教师备用题返回目录考试大纲返回目录1．掌握正弦定理，能用正弦定理解三角形．2．掌握余弦定理，能用余弦定理解三角形．1．解三角形(1)△ABC的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫作三角形的________．(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作___________．2．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式asinA＝________＝________＝2R(其中R是△ABC的外接圆的半径)a2＝_________________b2＝_________________c2＝_________________第22讲正弦定理和余弦定理•双向固基础bsinB返回目录元素解三角形csinCb2＋c2－2bccosAc2＋a2－2accosBa2＋b2－2abcosC定理正弦定理余弦定理定理的变形①a＝2RsinA，b＝________，c＝________②sinA＝a2R，sinB＝________，sinC＝________③asinB＝________，bsinC＝________，csinA＝________cosA＝__________cosB＝__________cosC＝__________•双向固基础第22讲正弦定理和余弦定理返回目录2RsinB2RsinCb2Rc2RbsinAcsinBasinCb2＋c2－a22bca2＋c2－b22caa2＋b2－c22ab定理正弦定理余弦定理可求解的三角形类型①已知三角形的任意________________，求其他两边和另一个角；②已知三角形的__________________________，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角①已知三角形的_________________，求第三边及其余两角；②已知三角形的________，解三角形•双向固基础第22讲正弦定理和余弦定理返回目录两个角与一边两边与其中一边的对角两边和它们的夹角三边3．三角形面积公式已知条件面积公式一边和这条边上的高S＝12aha＝________＝____________，其中ha，hb，hc为a，b，c边上的高两边及其夹角S＝_____________＝____________＝________•双向固基础第22讲正弦定理和余弦定理返回目录12bhb12chc12absinC12acsinB12bcsinA——链接教材——•双向固基础第22讲正弦定理和余弦定理[答案]236返回目录1．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝2，则最短边的边长等于________．[解析]由题知A＝75°，则角B最小，所以b边最小．由正弦定理bsinB＝csinC，得bsin45°＝2sin60°，解得b＝236.•双向固基础第22讲正弦定理和余弦定理[答案]7返回目录2．在△ABC中，已知a＝5，b＝23，C＝30°，则c＝________．[解析]由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋(23)2－2×5×23cos30°＝7，所以c＝7.•双向固基础第22讲正弦定理和余弦定理[答案]60°返回目录3．在△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，则C等于________．[解析]因为cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，所以C＝60°.——疑难辨析——•双向固基础第22讲正弦定理和余弦定理1．三角形中角关系的判断误区(1)在△ABC中，若sinAsinB，则AB.()(2)在△ABC中，若A＝60°，a＝43，b＝42，则B等于45°或135°.()[答案](1)√(2)×返回目录•双向固基础第22讲正弦定理和余弦定理[解析](1)由正弦定理，有sinA＝a2R，sinB＝b2R.若sinAsinB，则a2Rb2R，即ab，故AB.(2)由正弦定理，得asinA＝bsinB，则sinB＝bsinAa＝42×3243＝22.又ab，则AB，所以B为锐角，故B＝45°.返回目录•双向固基础第22讲正弦定理和余弦定理2．解三角形在△ABC中，若A＝60°，a＝23，c＝4，则此三角形有两解．()[解析]由正弦定理，得asinA＝csinC，则sinC＝csinAa＝4×3223＝1，C＝90°，则此三角形只有一解．[答案]×返回目录•双向固基础第22讲正弦定理和余弦定理3．三角形形状的判断(1)在△ABC中，若sinAsinBcosAcosB，则此三角形是钝角三角形．()(2)在△ABC中，若b2＋c2a2，则此三角形是锐角三角形．()[答案](1)√(2)×返回目录[解析](1)由sinAsinBcosAcosB，得cosAcosB－sinAsinB0，即cos(A＋B)0，则A＋B为锐角，所以C＝180°－(A＋B)为钝角，所以此三角形是钝角三角形．(2)由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc0，即A为锐角，但B，C不一定为锐角．••点面讲考向第22讲正弦定理和余弦定理例1(1)在△ABC中，若b＝5，B＝π4，sinA＝13，则a＝________．(2)若△ABC的内角A，B，C满足6sinA＝4sinB＝3sinC，则cosB＝________．返回目录►探究点一正、余弦定理［思考流程］(1)直接用正弦定理．(2)先用正弦定理把条件中角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理．•点面讲考向第22讲正弦定理和余弦定理[解析](1)由正弦定理得asinA＝bsinB，即a13＝522，得a＝523.(2)由正弦定理得sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R，代入6sinA＝4sinB＝3sinC，得6a＝4b＝3c，∴b＝32a，c＝2a.由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB，①将b＝32a，c＝2a代入①式，解得cosB＝1116.返回目录［答案］(1)523(2)1116第22讲正弦定理和余弦定理•点面讲考向返回目录[归纳总结]正弦定理能够解两类三角形，一类是已知两边及其中一边的对角，一类已知一边和两个内角(实际就是已知三个内角)，其中第一个类型也可以根据余弦定理列出方程求出第三边，再求内角．在使用正弦定理求三角形内角时，要注意解所有可能的情况，判断解的情况的基本依据是三角形中大边对大角．余弦定理也可以解两类三角形问题，一类是已知两边和夹角，一类是已知三边求三个角．利用余弦定理解三角形问题不会出现两个解的情况．•点面讲考向第22讲正弦定理和余弦定理变式题(1)[2013·南京、盐城三模]如图4­22­1所示，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为________．图4­22­1(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝________．[答案](1)562(2)30°返回目录•点面讲考向第22讲正弦定理和余弦定理[解析](1)在△ADC中，由余弦定理得∠ADC＝120°，易得∠ADB＝60°.在△ABD中，由正弦定理得AB＝sin∠ADBsinB·AD＝562.(2)由正弦定理csinC＝bsinB，且sinC＝23sinB，得c＝23b，则cosA＝b2＋c2－a22bc＝－3bc＋c22bc＝－3bc＋23bc2bc＝32，故A＝30°.返回目录••点面讲考向第22讲正弦定理和余弦定理例2在△ABC中a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，π3Cπ2且ba－b＝sin2CsinA－sin2C，判断△ABC的形状．返回目录►探究点二利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状•点面讲考向第22讲正弦定理和余弦定理[思考流程]条件：已知三角形的边角关系．目标：判断三角形形状．方法：利用正弦定理将条件转化为角的关系式，根据角的大小分析三角形的形状．返回目录解：由题意ba－b＝sin2CsinA－sin2C⇒ab＝sinAsin2C.由正弦定理知ab＝sinAsinB＝sinAsin2C，在△ABC中，sinA≠0，∴sinB＝sin2C，∴B＝2C或B＋2C＝π.当B＝2C时，∵C∈（π3，π2），∴B∈（2π3，π），则B＋Cπ(舍)；当B＋2C＝π时，B＋C＝π－A⇒A＝C，即△ABC为等腰三角形．•点面讲考向第22讲正弦定理和余弦定理返回目录[归纳总结]依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．•点面讲考向第22讲正弦定理和余弦定理变式题(1)[2013·陕西卷改编]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为________三角形．(2)在△ABC中，已知c＝2acosB，则△ABC的形状为________三角形．返回目录•点面讲考向第22讲正弦定理和余弦定理[答案](1)直角(2)等腰返回目录[解析](1)已知bcosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理可得sinBcosC＋sinCcosB＝sinAsinA⇒sin(B＋C)＝sin2A⇒sinA＝sin2A⇒sinA＝1，故A＝90°，故△ABC为直角三角形．(2)方法一：因为sinC＝2sinAcosB，又sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sinAcosB－cosAsinB＝sin(A－B)＝0，即A＝B.∴△ABC为等腰三角形．方法二：c＝2a·a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－b2c，∴c2＝a2＋c2－b2，即a2＝b2，a＝b.∴△ABC为等腰三角形．••点面讲考向第22讲正弦定理和余弦定理例3[2013·浙江卷]在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB＝3b.(1)求角A的大小；(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．返回目录►探究点三求角、边、面积的值或范围[思考流程]条件：已知三角形的边角关系式．目标：(1)求角A，(2)求面积．方法：(1)依据正弦定理及条件消去sinB，得出sinA，进而得出角A的值；(2)依据面积公式及余弦定理，整体求出bc的值，结合(1)的结论求得面积．•点面讲考向第22讲正弦定理和余弦定理解：(1)由2asinB＝3b及正弦定理asinA＝bsinB，得sinA＝32.因为A是锐角，所以A＝π3.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得b2＋c2－bc＝36.又b＋c＝8，所以bc＝283.由三角形面积公式S＝12bcsinA，得△ABC的面积为733.返回目录•点面讲考向第22讲正弦定理和余弦定理[归纳总结](1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就选用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般运用正弦定理或余弦定理进行边角的转化．返回目录•点面讲考向第22讲正弦定理和余弦定理变式题在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．(1)求角B的值；(2)若b＝5，求△ABC的周长的取值范围．返回目录•点面讲考向第22讲正弦定理和余弦定理解：(1)因为acosC，bcosB，ccosA成等差数列，所以acosC＋ccosA＝2bcosB，由正弦定理得sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosB即sin(A＋C)＝sinB＝2sinBcosB.因为sinB≠0，所以cosB＝12，又0Bπ，所以B＝π3.返回目录•点面讲考向第22讲正弦定理和余弦定理(2)在△ABC中，由正弦定理得asinA＝csinC＝bsinπ3＝103，所以a＝103sinA，c＝103sinC.因为B＝π3，