概率论抽样分布

下回停第三节抽样分布一、问题的提出二、抽样分布定理一、问题的提出由于统计量依赖于样本,而后者又是随机变量抽样分布渐近分布精确抽样分布(小样本问题中使用)(大样本问题中使用)这一节,我们来讨论正态总体的抽样分布.分布就是统计量的分布.概率分布.称这个分布为“抽样分布”.也即抽样故统计量也是随机变量,因而统计量就有一定的12,,,,nXXX设随机变量列相互独立且二、抽样分布定理性函数则它们的任一确定的线.,,,).,(~2112211为不全为零的常数其中nniiiiniiiniiCCCCCNXC引理),,2,1(),(~2niNXiii所以iniiniiiiniiCXECXCE111)()(212121iniiniiiiniiCXDCXCD)()().,(~12211niiiiniiiniiCCNXC,,,,21独立且均为正态变量由于nXXX证又仍为正态变量故他们的线性函数,1iniiXC1.样本来自单个正态总体定理5.3而是来自总体设样本,),,,(21XXXXn),,(~2NX样本均值则)1(),/,(~121nNXnXnii或).1,0(~NnXU标准化样本均值.数学期望估计总体目的：22*2222)1((2)nnnSnnSnSV)1(~2n.2是样本方差其中nS212)(1XXnii.(3)2独立与nSX.:2估计目的的平均偏离程度样本关于X期望的偏离程度关于总体均值样本XnXD:)(2注自由度减少一个!),1(~2n212)(11XXVnii减少一个自由度的原因：.),2,1}({不相互独立niXXi事实上，它们受到一个条件的约束：niiXX1niiXnX1)(1niiXnX1.0012°时，一般当)30(1nn，近似)1,0(~NnXU).()(2XDXE，其中3°代替，用中的若将标准样本均值*nSU常常是未知的，差在实际问题中，总体方2心极限定理知，不服从正态分布，由中若X则有如下推论：,),(),,,(221的样本是总体设NXXXn证),1,0(~/NnXU),1(~)1(222*nSnVn且两者独立,由t分布的定义知1nVU).1(~nt推论11//*nSXnSXTnn).1(~nt)1()1(/22*nSnnXnT则有样本方差分别是样本均值和修正,,2*nSX例1)250,2250(~2NX命某厂生产的灯泡使用寿记样本均值，以X)250,2250(~2nNX则现进行质量检查，方法如下：任意挑选若干个灯泡，如果这些灯泡的平均寿命超过2000h，就认为该厂生产的灯泡质量合格，若要使通过检验的概率超过0.997，问至少检查多少只灯泡.解)250)22502200(250)2250(()2200(nXnPXP所以997.0)5(1250)22502200((1nn所以，要是检查能通过的概率超过0.997，至灯泡的寿命即少应该检查190只灯泡.10.997Φ()0.99719055nnun定理5.42.样本来自两个正态总体.相互独立与YX),,,(121nXXX样本总体X和Y，则分别来自与),,,(221nYYY),(~)1(22212121nnNYX);1,0(~//)()(22212121NnnYX或221122~(,),~(,),XNYN若),2(~11)()(212121nntnnSYXTw时，当22221)2(.,2)1()1(2212*222*112其中本的修正分别是来自两个总体样和2221SS).1,1(~//(3)21222*2212*1nnFSSF;样本方差),(~221221nnNYX212111)()(nnYXU),1,0(~N),1(~)1(1222*11nSn由),1(~)1(2222*22nSn分布的可加性知故由且它们相互独立2,证(2)由引理及定理5.3，知(1)、略22111*)(SnV22221*)(Sn),2(~212nn分布的定义按相互独立与由于tVU,)2/(21nnVUT212111)()(nnSYXw).2(~21nnt(3)),(~)(*111221211nSn),1(~)1(22222*22nSn22**12S,S,由假设独立分布的定义知则由F22**112212221122(1)(1)~(1,1),(1)(1)nSnSFnnnn.)1,1(~//21222*2212*1nnFSSF即例2)9,2(~),4,0(~,NYNXYX相互独立，设).13,2(~,,NbYaXba使得试求正实数bbYaEXbYaXE2)(解因为相互独立正态随机变量的线性和仍为1394220,22babba，且由所以.1,1ba得222294)(baDYbDXabYaXD正态，且例3的样本是来自正态总体设),(,,,221NXXXn).2(~tZ试证明：)3,(~),6,(~2221NYNY因为解记97261131,61iiiiXYXY相互独立且21,YY97222)(21iiYXSSYYZ)(221)2,0(~221NYY）（）（从而有1,0~221NYY独立）（与且又因为212222222),2(~2YYSS).2(~)2/(2/)(2)(2222121tSYYSYYZ所以所以例4nXXX,,,212nXS和),(2N设是来自正态总体分别为样本均值与方差,又设),(~21NXn且与nXXX,,,21相互独立，试求常数C使得221()/nnFCXXS服从F(1,n-1).解因为),(~),,(~212NXnNXn所以，由正态分布的线性性得)1,0(~)(21nnNXXn因此)1,0(~1)(1NnnXXn)1(~222nnSn)1,1(~11)()1/(][1/]1)([2212221nFnnSXXnnSnnXXnnnn另一方面，有样本方差的性质知且2221]1)([nnnSnnXX与相互独立所以，由F分布的性质知所以)1(~]1)([221nnXXn从而有C=(n-1)/(n+1).内容小结抽样分布定理1单正态总体的抽样分布定理（定理5.3）2两正态总体的抽样分布定理（定理5.4）备用题例1-1),(,,,221NXXXn为来自正态总体设X则样本均值的一个简单随机样本，为常数，则ia服从＿＿＿＿，又若niiiXa1服从＿＿＿＿.因为相互独立的正态随机变量的线性和服从正态分布因而nXDXE2,),(~2nNX得同样niiiniiniiiniiaXaDaXaE122111][,][所以),(~12211niiniiniiiaaNXa解例1-2nN中抽取容量为从正态总体)36,4.3(）内的，值位于区间（的样本，若要求样本均4.54.1少？，则样本容量至少为多概率不小于95.0解(3.4)~(0,1)6nXN因此,样本容量n至少取35.以X表示样本均值，则)2()4.54.1(__XPXP所以)6264.3(nXnP95.01)3(2n57.34n例1-3),(,,,2121σμNXXXn为来自正态总体设则),1,,2,1(1111niXnXVnjjii服从iV).1,0(2nnN解且服从正态分布由于,iV11101nijEVμμn21122221)1(11nnnnnDVnijji.1,,1),1,0(~2ninnNVi所以例1-4且独立是同一正态总体与设),(221NXX两个样本均值，试取得的样本容量相同的离，使得两样本均值的距确定样本容量n.01.0的概率不超过超过解)2,0(~221nNXX)/2/2()(222121nnXXPXXP于是且独立，故由于,2,1),,(~2inNX01.0)]2(1[2n10.995Φ()0.9952.57513.2622nnun时满足条件！故当样本容量14n此时样本距离超过标准差的可能性不大于0.01.等价于例1-5个样本从中抽取设总体100),20,80(~2NX所以因为),20,80(~2NX)1,0(~280NX概率.解)23280()380(XPXP因而.1336.0)203(23之差的绝对值大于求样本均值与总体均值例1-6的样本，那么是来自设)25,(,,,21NXXXn.95.0)1(XPn取多少时，才能使因此样本均值),25,(~nNX解95.01)5/(2)/251/25()1(nnnXPXP04.96975.0)5(nn所以因此，当n至少取97时，满足上述条件.例2-1的两个独立的样本，求)3,20(N是来自总体和设),,,(),,,(15211021YYYXXX解),103,20(~101101NXXii),153,20(~151151NYYii~YX),21,0()153103,0(NN}.3.0{YXP)1,0(~21NYX故}3.0{1}3.0{YXPYXP从而213.0211YXP)]23.0(1[2.6744.0)6628.01(2例2-2),,0(,,,24321σNXXXX来自总体设122234?XXTXX的分布为)1,0(~2),2,0(~221221NXXNXX于是于是独立同分布于与),1,0(2423NXX解)2(~2224223XX则统计量分布的定义由t).2(~242321tXXXX即)2(~2/222423221tXXXX的是来自正态设),0(,,,221NXXXn试求为样本均值和标准差，和样本，nSX./的概率分布统计量nSXU解)1(~11/ntnSXnSXnn}{}{)(uSXPuUPuFn1由定理的推论知:)(UFU的分布函数先求)1(}11{)1(unFunnSXPntn例3-11)1()()()1(nunFuFupnt的分布密度为所以，U1)1()1(nunpnt1]1)1(1[)21()1()2(22nnunnnnnn.)1()21(π)2(22nunn例3-2是修正是样本均值，设总体2*2),,(~nSXNX量样本容量，则常用统计样本方差，n).1(2nU=_________服从N(0,1),T=_________服从t(n-1),M=_________服从解)1,0(~/NnX)1(~)1(222*nSnn由抽样分布的性质知所以).1(~)1/()1(/)(22*2*ntnSnnXSXnTnn22*)1(/nSnnX与同时相互独立常见三大分布卡方分布t分布F分布此类问题的关键在于熟练掌握常见分布的构造性质例4-1)2,0(~,)2,0(~221221NXXNXX由条件)1(~2),1(~222212221