2017高考一轮复习教案二次函数与幂函数(后附完整答案)

第四节二次函数与幂函数1．二次函数:掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单调区间．2．幂函数:(1)了解幂函数的概念．(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象，了解它们的变化情况．知识点一五种常见幂函数的图象与性质五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]减，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)易误提醒形如y＝xα(α∈R)才是幂函数，如y＝3x12不是幂函数．[自测练习]1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点12，22，则k＋α＝()A.12B．1C.32D．2知识点二二次函数1．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．二次函数的图象和性质a0a0图象定义域x∈R值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a单调性在－∞，－b2a上递减，在－b2a，＋∞上递增在－∞，－b2a上递增，在－b2a，＋∞上递减奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数图象特点①对称轴：x＝－b2a；②顶点：－b2a，4ac－b24a易误提醒研究函数f(x)＝ax2＋bx＋c的性质，易忽视a的取值情况而盲目认为f(x)为二次函数．必备方法1．函数y＝f(x)对称轴的判断方法(1)对于二次函数y＝f(x)，如果定义域内有不同两点x1，x2且f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图象关于x＝x1＋x22对称．(2)二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．2．与二次函数有关的不等式恒成立两个条件(1)ax2＋bx＋c0，a≠0恒成立的充要条件是a0，b2－4ac0.(2)ax2＋bx＋c0，a≠0恒成立的充要条件是a0，b2－4ac0.[自测练习]2.已知二次函数的图象如图所示，那么此函数的解析式可能是()A．y＝－x2＋2x＋1B．y＝－x2－2x－1C．y＝－x2－2x＋1D．y＝x2＋2x＋13．若二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为[0，＋∞)，则a，c满足的条件是________．4．已知f(x)＝4x2－mx＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．考点一幂函数的图象与性质|1．(2015·济南二模)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f12的值为()A.13B.12C.23D.432.若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()A．dcbaB．abcdC．dcabD．abdc3．(2015·安庆三模)若13(a+1)1-3(3-2a)，则实数a的取值范围是________．幂函数图象与性质应用的三个关注点(1)若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α0.(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．考点二二次函数的图象与性质|(1)为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如图所示)．若对应的两条曲线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm，则右轮廓线DFE所在的二次函数的解析式为()A．y＝14(x＋3)2B．y＝－14(x－3)2C．y＝－14(x＋3)2D．y＝14(x－3)2(2)函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是()A．f(1)≥25B．f(1)＝25C．f(1)≤25D．f(1)25解决二次函数图象与性质问题时两个注意点(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍．1．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b1，g(x)＝f(x)－m·x在[2,4]上单调，求m的取值范围．考点三二次函数的综合应用|(2016·聊城模拟)设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)满足条件：①f(－1＋x)＝f(－1－x)；②函数f(x)的图象与直线y＝x只有一个公共点．(1)求f(x)的解析式；(2)若不等式πf(x)1π2－tx在t∈[－2,2]时恒成立，求实数x的取值范围．不等式恒成立的求解方法由不等式恒成立求参数取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.2．设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1x4的一切x值，都有f(x)0，求实数a的取值范围．3.分类讨论思想在二次函数最值中的应用【典例】已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．[思路分析]参数a的值确定f(x)图象的形状；a≠0时，函数f(x)的图象为抛物线，还要考虑开口方向和对称轴位置．[思想点评](1)本题在求二次函数最值时，用到了分类讨论思想，求解中既对系数a的符号进行了讨论，又对对称轴进行讨论．在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论．(2)在有关二次函数最值的求解中，若轴定区间动，仍应对区间进行分类讨论．[跟踪练习]设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(x)，求g(x)．A组考点能力演练1．当ab0时，函数y＝ax2与f(x)＝ax＋b在同一坐标系中的图象可能是下列图象中的()2．(2015·芜湖质检)已知函数f(x)＝x2＋x＋c.若f(0)0，f(p)0，则必有()A．f(p＋1)0B．f(p＋1)0C．f(p＋1)＝0D．f(p＋1)的符号不能确定3．若幂函数y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2的图象不过原点，则m的取值是()A．－1≤m≤2B．m＝1或m＝2C．m＝2D．m＝14．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为－254，－4，则m的取值范围是()A．[0,4]B.32，4C.32，＋∞D.32，35．(2015·沧州质检)如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的x都有f(x＋1)＝f(－x)，那么()A．f(－2)f(0)f(2)B．f(0)f(－2)f(2)C．f(2)f(0)f(－2)D．f(0)f(2)f(－2)6．二次函数f(x)＝x2＋(2－log2m)x＋m是偶函数，则实数m＝________.7．已知幂函数f(x)＝x－12，若f(a＋1)f(10－2a)，则a的取值范围是________．8．(2015·济南二模)已知函数f(x)＝x2－2x，x∈[a，b]的值域为[－1,3]，则b－a的取值范围是________．9．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R)．(1)若函数f(x)的图象过点(－2,1)，且方程f(x)＝0有且只有一个根，求f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x∈[－1,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．10．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a1)．(1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．B组高考题型专练1．(2014·高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x0)，g(x)＝logax的图象可能是()2．(2014·高考北京卷)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟3．(2013·高考辽宁卷)已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝()A．a2－2a－16B．a2＋2a－16C．－16D．164．(2015·高考福建卷)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于________．1.解析：因为函数f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1，又函数f(x)的图象过点12，22，所以12α＝22，解得α＝12，则k＋α＝32.答案：C2.解析：设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题图得：a0，b0，c0.选C.答案：C3.解析：由已知得a0，4ac－164a＝0，⇒a0，ac－4＝0.答案：a0，ac＝44.解：因为函数f(x)＝4x2－mx＋5的单调递增区间为m8，＋∞，所以m8≤2，即m≤16.答案：(－∞，16]1.解析：设f(x)＝xa，又f(4)＝3f(2)，∴4a＝3×2a，解得a＝log23，∴f12＝12log23＝13.答案：A2.解析：幂函数a＝2，b＝12，c＝－13，d＝－1的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以abcd.故选B.答案：B3.解析：不等式(a＋1)－13(3－2a)－13等价于a＋13－2a0或3－2aa＋10或a＋103－2a.解得a－1或23a32.答案：(－∞，－1)∪23，32[解析]由题图可知，对应的两条曲线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm，所以点C的纵坐标为0，横坐标的绝对值为42＋22＝3，即C(－3,0)，因为点F与点C关于y轴对称，所以F(3,0)，因为点F是右轮廓线DFE所在的二次函数图象的顶点，所以设该二次函数为y＝a(x－3)2(a0)，将点D(1,1)代入得，a＝14，即y＝14(x－3)2，故选D.[答案]D(2)[解析]函数f(x)＝4x2－mx＋5的增区间为m8，＋∞，由已知可得m8≤－2⇒m≤－16，所以f(1)＝4×12－m×1＋5＝9－m≥25.[答案]A1.解：(1)f(x)＝ax2－2ax＋2＋b＝a(x－1)2＋2＋b－a，若a0，则f(x)在区间[2,3]上是增函数．则有f2＝2＋b＝2，f3＝3a＋2＋b＝5，解得b＝0，a＝1.若a0，则f(x)在区间[2,3]上是减函数，则有f2＝2＋b＝5，f