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1/16乌市第一中学2018届导数综合练习题(2017年3月)1、设函数2lnfxaxax,其中a∈R.(I)讨论f(x)的单调性;(II)确定a的所有可能取值,使得11xfxex在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。2、已知函数222ln22fxxaxxaxaa,其中0a。(1)设gx是fx的导函数,讨论gx的单调性;(2)证明:存在0,1a,使得0fx在区间1,内恒成立,且0fx在区间1,内有唯一解。3、已知函数1()ln,()exxfxmxaxmgx,其中m,a均为实数.(1)求()gx的极值;(2)设1,0ma,若对任意的12,[3,4]xx12()xx,212111()()()()fxfxgxgx恒成立,求a的最小值;(3)设2a,若对任意给定的0(0,e]x,在区间(0,e]上总存在1212,()tttt,使得120()()()ftftgx成立,求m的取值范围.4、设函数f(x)=lnx.(I)求函数g(x)=x-1-f(x)的极小值;(Ⅱ)若关于x的不等式mf(x)≥11xx在[1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;(Ⅲ)已知a∈(0,2),试比较f(tana)与一cos2a的大小,并说明理由.5、已知函数xaxxxf2)1ln()()(Ra.(Ⅰ)当41a时,求函数)(xfy的单调区间;(Ⅱ)若对任意实数)2,1(b,当],1(bx时,函数)(xf的最大值为)(bf,求a的取值范围.6、已知函数()1(1)()xfxneaa为常数是实数集R上的奇函数,函数()()singxfxx在区间11,上是减函数.(1)求实数a的值;(2)若关于x的方程21.2()nxxexmfx有且只有一个实数根,求m的值.2/167、已知f(x)=3212axbx+cx-1的导函数为'()fx,且不等式'()fx≥0的解集为{x|一2≤x≤1}.(1)若函数f(x)的极小值为一11,求实数a的值;(2)当x[-3,0]时,关于x的方程f(x)一ma+1=0有唯一实数解,求实数m的取值范围.8、已知221ln,xfxaxxaRx.(1)讨论fx的单调性;(2)当1a时,证明3'2fxfx对于任意的1,2x成立.9、2(),ln1()1,(1)1410axbxfxgxxyfxfxxy已知函数,曲线在点处的切线方程是5(I)求,ab的值;(II)若当0,x时,恒有()()fxkgx成立,求k的取值范围;(III)若52.2361,试估计5ln4的值(精确到0.001)10、已知函数2211ln22fxxaaxxa.(1)若函数fx在2x处取得极值,求曲线yfx在点1,1f处的切线方程;(2)讨论函数fx的单调性;(3)设22lngxaxx,若fxgx对1x恒成立,求实数a的取值范围.11、已知函数2()lnfxmxx.(m为常数)(Ⅰ)当1,ex时,求函数()yfx的零点个数;(Ⅱ)是否存在正实数m,使得对任意121,exx、,都有121211()()fxfxxx,若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.12、(Ⅰ)讨论函数xx2f(x)x2e的单调性,并证明当0x时,(2)20xxex;(Ⅱ)证明:当[0,1)a时,函数2x=(0)xeaxagxx()有最小值.设()gx的最小值为()ha,求函数()ha的值域.3/161、【答案】(Ⅰ)当x10,)2a(时,'()fx0,()fx单调递减;当x1+)2a(,时,'()fx0,()fx单调递增;(Ⅱ)1[,)2a??.考点:导数的计算、利用导数求函数的单调性,最值、解决恒成立问题.4/162、解:(1)222ln22fxxaxxaxaa2'2ln2220,0agxfxxxaaxx222222'20,0xxaagxaxxxx令'0gx,即200xxax,讨论此不等式的解,可得:①当140a时,即14a时,不等式恒成立。即'0gx恒成立,所以gx恒单调递增。②当104a时,12114111410,,,12222aaxx所以'0gx的解为1141140,22aaxx。所以gx在1141140,22aaxx时单调递增。综上:当14a时,gx在0,上单调递增。当104a时,gx在114114(0,),(,)22aa上单调递增,在114114(,)22aa上单调递减。(2)由(1)得'fxgx在1,内单调递增。且'1222240faaa,'0f。由零点存在性定理得存在唯一01,x使得00002'2ln2220afxxxax①。所以fx在0(1,)x上单调递减,0(,)x上单调递增。所以满足0fx在区间1,内有唯一解只需满足0min0fxfx即可。22000002ln220fxxaxxaxaa,将①带入化简得:5/16223200002000200025220220,22axxaxxaxaxxxaaxx当00(1)2xax时,此时①变形为22ln230aa,在1,12上有解。令22222ln23,,'2ahaaahaaa所以ha在0,1上单调递减。11302h不满足。当2002axx时,此时①变形为20022ln60xx在1,2上有解。不妨设2200000000422()22ln6,'4xhxxxhxxxx所以0()hx在1,2上单调递增。(1)4,222ln20hh。所以20022ln60xx在1,2上有解。所以结论得证。3、解:(1)e(1)()exxgx,令()0gx,得x=1.列表如下:∵g(1)=1,∴y=()gx的极大值为1,无极小值.3分(2)当1,0ma时,()ln1fxxax,(0,)x.∵()0xafxx在[3,4]恒成立,∴()fx在[3,4]上为增函数.设1e()()exhxgxx,∵12e(1)()xxhxx0在[3,4]恒成立,∴()hx在[3,4]上为增函数.设21xx,则212111()()()()fxfxgxgx等价于2121()()()()fxfxhxhx,x(∞,1)1(1,∞)()gx0g(x)↗极大值↘6/16即2211()()()()fxhxfxhx.设1e()()()ln1exuxfxhxxaxx,则u(x)在[3,4]为减函数.∴21e(1)()10exaxuxxx≤在(3,4)上恒成立.∴11eexxaxx≥恒成立.设11e()exxvxxx,∵112e(1)()1exxxvxx=121131e[()]24xx,x[3,4],∴1221133e[()]e1244xx,∴()vx0,()vx为减函数.∴()vx在[3,4]上的最大值为v(3)=322e3.∴a≥322e3,∴a的最小值为322e3.8分(3)由(1)知()gx在(0,e]上的值域为(0,1].∵()2lnfxmxxm,(0,)x,当0m时,()2lnfxx在(0,e]为减函数,不合题意.当0m时,2()()mxmfxx,由题意知()fx在(0,e]不单调,所以20em,即2em.①此时()fx在2(0,)m上递减,在2(,e)m上递增,∴(e)1f≥,即(e)e21fmm≥,解得3e1m≥.②由①②,得3e1m≥.∵1(0,e],∴2()(1)0ffm≤成立.下证存在2(0,]tm,使得()ft≥1.取emt,先证e2mm,即证2e0mm.③设()2exwxx,则()2e10xwx在3[,)e1时恒成立.∴()wx在3[,)e1时为增函数.∴3e))01((wxw≥,∴③成立.再证()emf≥1.∵ee3()1e1mmfmmm≥,∴3e1m≥时,命题成立.7/16综上所述,m的取值范围为3[,)e1.14分4、5、解析:(Ⅰ)当41a时,xxxxf241)1ln()(8/16则)1()1(2)1(12111)(xxxxxxxf……………………1分令0)(xf,得01x或1x;令0)(xf,得10x,函数)(xf的单调递增区间为)0,1(和),1(,单调递减区间为)1,0(……………………4分(Ⅱ)由题意)1(1)]21(2[)(xxaaxxxf(1)当0a时,函数)(xf在)0,1(上单调递增,在),0(上单调递减,此时,不存在实数)2,1(b,使得当],1(bx时,函数)(xf的最大值为)(bf………6分(2)当0a时,令0)(xf,有01x,1212ax,①当21a时,函数)(xf在),1(上单调递增,显然符合题意。…………………7分②当0121a即210a时,函数)(xf在)0,1(和),121(a上单调递增,在)121,0(a上单调递减,)(xf在0x处取得极大值,且0)0(f,要使对任意实数)2,1(b,当],1(bx时,函数)(xf的最大值为)(bf,只需0)1(f,解得2ln1a,又210a,所以此时实数a的取值范围是212ln1a。…………………9分③当0121a即21a时,函数)(xf在)121,1(a和),0(上单调递增,在)0,121(a上单调递减,要使对任意实数)2,1(b,当],1(bx时,函数)(xf的最大值为)(bf,只需)1()121(faf,代入化简得012ln41)2ln(aa,(*)令12ln41)2ln()(aaag)21(a,因为0)411(1)(aaag恒成立,故恒有0212ln)21()(gag,所以21a时,(*)式恒成立,综上,实数a的取值范围是),2ln1[…………………12分6、9/1610/167、解:(1)cbxaxxf23)(,由题意得3ax2+bx+c≥0的解集为{x|-2≤x≤1},∴a0,且方程3ax2+bx+c=0的两根为-2,1.于是13ab,23ac,得b=3a,c=-6a.………………………………………………………………2分∵3ax2+bx+c0的解集为{x|x-2或x1},∴f(x)在(-∞,-2)上是减函数,在[-2,1]上是增函数,在(1,+∞)上是减函数.∴当x=-2时f(x)取极小值,即-8a+2b-2c-1=-11,把b=3a,c=-6a代入得-8a+6a+12a-1=-11,解得a=-1.………………………………………………………………………5分(2)由方程f(x)-ma+1=0,可整理得0112123macxbxax,即maaxaxax62323.∴xxxm62323.…………
本文标题:乌市第一中学2018届导数综合练习题(2017-03-09)
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