2019东城二模数学理科

高三数学（理）（东城）第1页（共11页）北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（二）2019.5数学（理科）本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合2{2,1,0,1,2},{20}ABxxx，则ABRð(A){2}(B){01}，(C){2,1,2}(D){1,0,1,2}（2）执行如图所示的程序框图，输入2,5ab，那么输出的,ab的值分别为（A）7，3（B）3，3（C）5，3（D）5，2（3）已知向量a与b不共线，且ABmab(1)m，.ACnab若,,ABC三点共线，则实数,mn满足的条件为(A)1mn(B)1mn(C)1mn(D)1mn（4）鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作.右图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：mm），则此构件的体积为（A）334000mm（B）333000mm（C）332000mm（D）330000mm高三数学（理）（东城）第2页（共11页）（5）已知nS是等差数列na的前n项和，则“nnSna对2n恒成立”是“34aa”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件（6）教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为(A)84(B)42(C)41(D)35（7）已知正方体1111ABCDABCD的棱长为2，P是底面ABCD上的动点，1PAPC≥，则满足条件的点P构成的图形的面积等于(A)12(B)4(C)44(D)72（8）在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q（辆/小时）：单位时间内通过某一道路横断面的车辆数；车流速度V（千米/小时）：单位时间内车流平均行驶的距离；车流密度K（辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数.一般的，V和K满足一个线性关系：00=(1)KVvk（其中00,vk是正数），则以下说法正确的是(A)随着车流密度的增大，车流速度在逐渐增大(B)随着车流密度的增大，交通流量在逐渐增大(C)随着车流速度的增大，交通流量先减小、后增大(D)随着车流速度的增大，交通流量先增大、后减小第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）已知复数1i2iz在复平面内对应的点为Z，则Z关于虚轴对称的点位于第象限.（10）已知2log6a，5log15b，若3logamb，mN，则满足条件的m可以为_____.（11）椭圆22124:1xyCb与曲线2C关于直线yx对称，1C与2C分别在第一、二、三、四象限交于点1234,,,.PPPP若四边形1234PPPP的面积为4，则点1P的坐标为_______,1C的离心率为__．高三数学（理）（东城）第3页（共11页）（12）将函数sin23cos2yxx的图象向左平移6个单位长度，得到函数()ygx的图象，则5()6g=.（13）设关于,xy的不等式组0,20,10xxymxy表示的平面区域为钝角三角形及其内部，则m的取值范围是.（14）已知函数()fx，，对于任意实数[,]xab，当0axb时，记0|()()|fxfx的最大值为[,]0()abDx.①若2()(1)fxx，则[0,3](2)D；②若22,0,()21,0,xxxfxxx则[,2](1)aaD的取值范围是.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）如图，在四边形ABCD中，7,2,ACCDAD2.3ADC（Ⅰ）求CAD的正弦值；（Ⅱ）若2BACCAD，且△ABC的面积是△ACD面积的4倍，求AB的长.（16）（本小题13分）某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修.工厂规定当日损坏的元件A在次日早上8：30之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作.每个工人独立维修A元件需要时间相同.维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如下表：日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A个数91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A个数12241515151215151524从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数.（Ⅰ）求X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若,abN，且6ba，求()PaXb最大值；（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）高三数学（理）（东城）第4页（共11页）（17）（本小题14分）如图，四边形ABCD和三角形ADE所在平面互相垂直，AB∥CD，ABBC，60DAB，4ABAD，AEDE，AEDE，平面ABE与平面CDE交于EF．（Ⅰ）求证：CDEF；（Ⅱ）若EFCD，求二面角--ABCF余弦值；（Ⅲ）在线段BC上是否存在点M使得AMEM？若存在，求BM的长；若不存在，说明理由．（18）（本小题13分）已知点1,2P到抛物线2:20Cypxp准线的距离为2.（Ⅰ）求C的方程及焦点F的坐标；（Ⅱ）设点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与C交于两点,AB，直线,PAPB分别交x轴于,MN两点.求MFNF的值.（19）（本小题14分）已知函数()sinfxxx．（Ⅰ）求曲线()yfx在点(,())22f处的切线方程；（Ⅱ）若不等式()cosfxaxx在区间π[0,]2上恒成立，求实数a的取值范围．（20）（本小题13分）若n行n列的数表111212122212nnnnnnaaaaaaaaaLLMMML(2)n满足：01ija，(12)ijnL，，，，，1nikkam(12,0)inmn，，，L，10(,1,2,,,)nikjkkaaijnijL，记这样的一个数表为()nAm.对于(),nAm记集合1(,),,.nijijikjkkTnmaaijnijN，1(,)Tnm表示集合(,)Tnm中元素的个数.（Ⅰ）已知3110(2)011,101A写出(13,)ijijijN，的值；（Ⅱ）是否存在数表4(2)A满足(42)1T，？若存在，求出4(2)A，若不存在，说明理由；（Ⅲ）对于数表()(0,)nAmmnmN，求证：(,)2nTnm≤.高三数学（理）（东城）第5页（共11页）北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（二）2019.5数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A（2）D（3）C（4）C（5）C（6）B（7）A（8）D二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）四（10）9（答案不唯一）（11）61,13（12）3（13）12,0(,)2（14）3[1,4]三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）在△ACD中，设(0)ADxx，由余弦定理得2227=422cos3xxxx，整理得277x，解得1x.所以1,2.ADCD由正弦定理得2sinsin3DCACDAC，解得21sin.7DAC............................6分（Ⅱ）由已知得4ABCACDSS，所以11sin4sin22ABACBACADACCAD，化简得sin4sin.ABBACADCAD所以2sincos4sin,ABCADCADADCAD于是cos2.ABCADAD高三数学（理）（东城）第6页（共11页）因为21sin7CAD，且CAD为锐角，所以227cos1sin7CADCAD.因此7.AB...............13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由题意可知，X的所有可能取值为9,12,15,18,24，且3(9)20PX；5(12)20PX；7(15)20PX；2(18)20PX；3(24)20PX.所以X的分布列为：X912151824P320520720220320故X的数学期望35723()9+12+15+18+24=152020202020EX.............................5分（Ⅱ）当()PaXb取到最大值时，,ab的只可能为：9,15,ab或12,18,ab或18,24.ab经计算15(915)20PX，14(1218)20PX，5(1824)20PX，所以()PaXb的最大值为153=204.............................10分（Ⅲ）至少增加2人............................13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）在四边形ABCD中，AB∥CD．因为AB平面ABE，CD平面ABE，所以CD∥平面ABE．因为CD平面CDE，且平面ABE平面CDEEF，所以CD∥EF．............................4分（Ⅱ）如图，取AD的中点N，连接BN，EN.在等腰△ADE中，.ENAN因为平面ADE平面ABCD，交线为AD，高三数学（理）（东城）第7页（共11页）又ENAD，所以EN平面ABCD.所以.ENBN由题意易得.ANBN如图建立空间直角坐标系Nxyz，则(0,0,0),N(2,0,0)A，(0,23,0)B，(3,3,0)C，(2,0,0)D，(0,0,2)E．因为EFCD，所以(1,3,2)F.设平面BCF的法向量为(,,)xyz，n(1,3,2),(3,3,0),BFBC则0,0,BFBCnn即320,330.xyzxy令3y，则1,1xz．于是(1,3,1)n．又平面ABCD的法向量为(0,0,2)NE，所以5cos,5NENENEnnn．由题知二面角--ABCF为锐角，所以二面角--ABCF的余弦值为55.............................9分（Ⅲ）不存在满足条件的点M，使AMEM，理由如下：若AMEM，则0EMAM．因为点M为线段BC上的动点，设(01),CMtCBt，(,,0)Muv．则(3,3,0)(3,3,0)uvt，解得(33,3+3,0)Mtt．所以(33,33,2)EMtt，(35,33,0)AMtt．所以(33,33,2)(35,33,0)=0EMAMtttt．整理得22330tt，此方程无实根．所以线段BC上不存在点M，使AMEM.............................14分高三数学（理）（东城）第8页（共11页）（18）（共13分）解：（Ⅰ）由已知得122p，所以2.p所以抛物线C的方程为24yx，焦点F的坐标为1,0.............................4分（II）设点11(,)Axy,22(,)Bxy，由已知得(