最新08高考(数学)复习精品教案专题12分类讨论思想z

专题12分类讨论的思想一、考点回顾分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位。所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．1.分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点⑴分类讨论的思想具有明显的逻辑特点；⑵分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察；⑶解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧；⑷分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关。2.分类讨论的思想的本质分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略．3.运用分类讨论的思想解题的基本步骤⑴确定讨论对象和确定研究的全域；⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；⑷归纳总结，整合得出结论．4.明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n项和公式等等；⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘一实数对不等号方向的影响等等；⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等。5.分类讨论思想的类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的。二经典例题剖析1.(2006辽宁)已知函数11()(sincos)sincos22fxxxxx,则()fx的值域是（）(A)1,1(B)2,12(C)21,2(D)21,2解析：cos(sincos)11()(sincos)sincossin(sincos)22xxxfxxxxxxxxmin{sin,cos}xx答案：C点评：本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识，同时考查了分类讨论思想和估算能力。2.（2007·广东）已知a是实数，函数2()223fxaxxa，如果函数()yfx在区间11，上有零点，求a的取值范围．解析：由函数()fx的解析式的形式，对其在定区间上零点问题的解决需要考虑它是一次函数，还是二次函数，因而需就0a和0a两类情况进行讨论。答案：函数()yfx在区间[-1，1]上有零点，即方程2()223fxaxxa=0在[-1，1]上有解，a=0时，不符合题意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解=(1)(1)0ff或(1)0(1)048(3)01[1.1]afafaaa15a或372a或5a372a或a≥1.所以实数a的取值范围是372a或a≥1.点评：本题主要考察二次函数及其性质、一元二次方程、函数应用、解不等式等基础知识，考察了数形结合、分类讨论的思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力。3.（2007·海南、宁夏）设函数2()ln()fxxax．（I）若当1x时，()fx取得极值，求a的值，并讨论()fx的单调性；（II）若()fx存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于eln2．解析：函数的极值、单调性是函数的重要性质。极值问题的解决，需要利用导数知识判断在该点两侧函数的单调性；而函数单调性的讨论则需要考察相应导数的符号问题。答案：（Ⅰ）1()2fxxxa，依题意有(1)0f，故32a．从而2231(21)(1)()3322xxxxfxxx．()fx的定义域为32，．当312x时，()0fx；当112x时，()0fx；当12x时，()0fx．从而，()fx分别在区间31122，，，单调增加，在区间112，单调减少．（Ⅱ）()fx的定义域为()a，，2221()xaxfxxa．方程22210xax的判别式248a．（ⅰ）若0，即22a，在()fx的定义域内()0fx，故()fx无极值．（ⅱ）若0，则2a或2a．若2a，(2)x，，2(21)()2xfxx．当22x时，()0fx，当22222x，，时，()0fx，所以()fx无极值．若2a，(2)x，，2(21)()02xfxx，()fx也无极值．（ⅲ）若0，即2a或2a，则22210xax有两个不同的实根2122aax，2222aax．当2a时，12xaxa，，从而()fx在()fx的定义域内没有零点，故()fx无极值．当2a时，1xa，2xa，()fx在()fx的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知()fx在12xxxx，取得极值．综上，()fx存在极值时，a的取值范围为(2)，．()fx的极值之和为：2221211221e()()ln()ln()ln11ln2ln22fxfxxaxxaxa点评：本题主要考查函数的导数、极值、单调区间的求法，考查利用导数和函数知识解综合问题的能力.求函数的单调区间，因函数的单调性可能是单调递增也可能是单调递减所以要讨论，其实质就是讨论倒导数的符号。一般地可导函数的极值存在要求有两个条件：一是方程()0fx在()fx的定义域内有解；二是在方程()0fx的根的两边导数()fx的符号要相反。因此在利用导数求可导函数的极值时就要分两层讨论。4.（2007·天津）在数列na中，1112(2)2()nnnnaaanN，，其中λ＞0．求数列na的前n项和nS解析：数列的通项公式和前n项和的求解，是高考中考查的一个重点内容，对于它们的解决要掌握一些方法。答案：由11(2)2()nnnnaanN，0，可得111221nnnnnnaa，所以2nnna为等差数列，其公差为1，首项为0，故21nnnan，所以数列na的通项公式为(1)2nnnan．设234123(2)(1)nnnTnn，①345123(2)(1)nnnTnn②当1时，①式减去②式，得212311(1)(1)(1)1nnnnnTnn，21121222(1)(1)(1)1(1)nnnnnnnnT．这时数列na的前n项和21212(1)22(1)nnnnnnS．当1时，(1)2nnnT．这时数列na的前n项和1(1)222nnnnS．点评：本题考查数列的通项公式和前n项和。对于等比数列的前n项和公式，由于公比的取值不同而需要分类讨论。5.（2007·全国卷Ⅱ）设等比数列{}na的公比1q，前n项和为nS．已知34225aSS，，求{}na的通项公式．解析：本题是考查数列的基本题，“知三求二”。答案：由题设知11(1)01nnaqaSq，，则2121412(1)5(1)11aqaqaqqq，．②由②得4215(1)qq，22(4)(1)0qq，(2)(2)(1)(1)0qqqq，因为1q，解得1q或2q．当1q时，代入①得12a，通项公式12(1)nna；当2q时，代入①得112a，通项公式11(2)2nna．点评：本题在运算过程中，由于参数值的不同导致结果的变化，因而需要分类讨论。6.（2007·上海）直角坐标系xOy中，ij，分别是与xy，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若jkiACjiAB3,2，则k的可能值个数是（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4解析：由AB（2，1），AC（3，k），得BC（1，k-1），由于ABC为RT，则A，B，C都可能为直角，由向量数量积为0，分别有210k或3(1)0kk或60k，解得1k或6k。答案：B点评：本题主要考查向量运算及向量垂直的判定，也考查了学生分类讨论思想能力，引起分类的原因是直角三角形直角的不确定，但有的学生也可能想到位置有三种情况，故主观认为有三个值，这也是值得思考的。7.将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（）Ａ．19Ｂ．112Ｃ．115Ｄ．118解析：连续掷三次骰子出现点数的方法总数为36种，其中公差为0的等差数列有6个，公差为1或-1的等差数列有248个，公差为2或-2的等差数列有224，所以满足条件中的概率为36841612答案：B点评：本题主要考查概率基础知识，排列组合知识和等差数列的性质，由于取出的三个数成等差数列，则三个数由于顺序且公差不确定，所以需要分类进行计数。8.（2007·陕西）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于AB，两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求AOB△面积的最大值．解析：圆锥曲线方程的确定要了解其中参数字母具有的几何意义，掌握字母间的基本关系。答案：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意633caa，，1b，所求椭圆方程为2213xy．（Ⅱ）设11()Axy，，22()Bxy，．（1）当ABx⊥轴时，3AB．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm．由已知2321mk，得223(1)4mk．把ykxm代入椭圆方程，整理得222(31)6330kxkmxm，122631kmxxk，21223(1)31mxxk．22221(1)()ABkxx22222223612(1)(1)(31)31kmmkkk22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)kkmkkkk2422212121233(0)34196123696kkkkkk≤．当且仅当2219kk，即33k时等号成立．当0k时，3AB，综上所述max2AB．当AB最大时，AOB△面积取最大值max133222SAB．点评：本题考查圆锥曲线的方程和直线与圆锥曲线间的位置关系。对于直线方程，根据斜率存在与否是本题产生讨论的原因。三方法总结与2008年高考预测（一）方法总结1.分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，它已成为高考考查学生知识与能力的热点问题，这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖知识点较多，有利于知识的考查；其二，解分类讨论问题要有一定