高等数学之直线及其方程

直线及其方程xyzo12定义空间直线可看成两平面的交线．0:11111DzCyBxA0:22222DzCyBxA0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程L一、空间直线的一般方程xyzo方向向量的定义：如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量．sL),,,(0000zyxM0MM,LM),,,(zyxMsMM0//},,,{pnms},,{0000zzyyxxMM二、空间直线的对称式方程与参数方程pzznyymxx000直线的对称式方程tpzznyymxx000令ptzzntyymtxx000直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.直线的参数方程例1求经过),,(),,,(22221111zyxMzyxM两点的直线方程解因为直线过21,MM两点因此可取21MM作为直线的方向向量21MMs121212,,zzyyxx由点向式即得所求直线的方程为121121121zzzzyyyyxxxx——直线的两点式方程例2用对称式方程及参数方程表示直线.043201zyxzyx解一用点向式在直线上任取一点),,(000zyx取10x,063020000zyzy解得2,000zy点坐标),2,0,1(因所求直线与两平面的法向量都垂直取21nns},3,1,4{对称式方程,321041zyx参数方程.3241tztytx解二用两点式已求出一点)2,0,1(再求出一点令1y得0zx532zx解得5,5zx点坐标),5,1,5(所求直线方程为,321041zyx参数方程.3241tztytx解三由.043201zyxzyx两式相加得0543zx)54(31zx代入方程组得)2(31zy即)54(31zx)2(31zy——称为投影方程实际上这就是所求直线的参数方程对称式方程3132435zyx例3一直线过点)4,3,2(A，且和y轴垂直相交，求其方程.解因为直线和y轴垂直相交,所以交点为),0,3,0(B取BAs},4,0,2{所求直线方程.440322zyx由以上几例可见，求直线方程的思路、步骤：两定——定点、定向例4求过点A(1,2,－2),且通过直线L12132zyx的平面方程解设所求平面的法向量为n由题设知点)2,1,2(M为直线L上一点其方向向量kjis3由于所求平面通过点A及LkjiAMn43AMsn431113kjikji1013由点法式得所求平面方程为0)2(10)1(13)2(zyx即051013zyx例5求直线412312zyx与平面062zyx的交点解所给直线的参数方程为tx2ty3tz24代入平面方程，得06)24()3()2(2ttt解得1t将1t代入直线的参数方程，即得所求交点的坐标为2,2,1zyx即交点为)2,2,1(M定义直线:1L,111111pzznyymxx直线:2L,222222pzznyymxx22222221212121212121||),cos(pnmpnmppnnmmLL^两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）两直线的夹角公式三、两直线的夹角两直线的位置关系：21)1(LL,0212121ppnnmm21)2(LL//,212121ppnnmm直线:1L直线:2L},0,4,1{1s},1,0,0{2s,021ss,21ss例如，.21LL即例6求过点)5,2,3(且与两平面34zx和152zyx的交线平行的直线方程.解设所求直线的方向向量为},,,{pnms根据题意知,1ns,2ns取21nns},1,3,4{.153243zyx所求直线的方程例7求过点)3,1,2(M且与直线12131zyx垂直相交的直线方程.解先作一过点M且与已知直线垂直的平面0)3()1(2)2(3zyx再求已知直线与该平面的交点N,令tzyx12131.1213tztytx代入平面方程得,73t交点)73,713,72(N取所求直线的方向向量为MNMN}373,1713,272{},724,76,712{所求直线方程为.431122zyx定义直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角．,:000pzznyymxxL,0:DCzByAx},,,{pnms},,,{CBAn2),(ns^2),(ns^四、直线与平面的夹角0.2222222||sinpnmCBACpBnAm直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：L)1(.pCnBmAL)2(//.0CpBnAm.cos2cossin2例8设直线:L21121zyx，平面:32zyx，求直线与平面的夹角.解},2,1,1{n},2,1,2{s222222||sinpnmCBACpBnAm96|22)1()1(21|.637637arcsin为所求夹角．五、平面束设有直线:L)(011111DzCyBxA)(022222DzCyBxA考虑0)()(22221111DzCyBxADzCyBxA其中022因222111,,,,CBACBA与不成比例故212121,,CCBBAA不全为0从而0)()(22221111DzCyBxADzCyBxA表示一个平面若一点P在L上满足和的方程12P则点的坐标必同时P则点的坐标也满足因而L表示过的平面对于的不同值,L表示过的所有平面——过的平面束L一般在具体应用时，常取11或而考虑缺或的平面束120)()(22221111DzCyBxADzCyBxA0)()(22221111DzCyBxADzCyBxA例9求直线0101zyxzyx在平面0zyx上的投影直线的方程[分析]过所给直线作一平面与已知平面垂直，两平面的交线即位所求解过所给直线的平面束方程为0)1()1(zyxzyx即0)1()1()1()1(zyx这平面与已知平面垂直的条件是01)1(1)1(1)1(1所求平面方程为01zy这就是过已知直线且垂直于平面0zyx的平面的方程它与已知平面的交线：0zyx0zyx01zy即为所求的投影直线的方程空间直线的一般方程.空间直线的对称式方程与参数方程.两直线的夹角.直线与平面的夹角.（注意两直线的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）六、小结思考题在直线方程pznymx6224中，m、n、p各怎样取值时，直线与坐标面xoy、yoz都平行.思考题解答},6,,2{pnms且有.0s,0ks,0is0206mp,0,6mp,0s,0n故当时结论成立．,0m6p,0n