高等数学讲义---向量代数与空间解析几何

82第五章向量代数与空间解析几何§5.1向量代数(甲)内容要点一、空间直角坐标系二、向量概念a＝ix+jy+kz坐标zyx,,模a＝222zyx方向角,,方向余弦cos,cos,coscos＝222zyxx；cos＝222zyxy；cos＝222zyxz三、向量运算设a11,1,zyx；b22,2,zyx；c33,3,zyx1．加（减）法ab＝2121,21,zzyyxx2．数乘111,,zyxa3．数量积（点乘）（ⅰ）定义a·b=abba,cos（ⅱ）坐标公式a·b=21xx+21yy+21zz（ⅲ）重要应用a·b=0ab4．向量积（叉乘）（ⅰ）定义ab＝baba,sinab与a和b皆垂直，且a，b，ab构成右手系83（ⅱ）坐标公式ab=222111zyxzyxkji（ⅲ）重要应用ab=0a，b共线5、混合积（ⅰ）定义（a，b，c）＝（ab）·c（ⅱ）坐标公式（a，b，c）=333222111zyxzyxzyx（ⅲ）cba,,表示以a，b，c为棱的平行六面体的体积（乙）典型例题例1、点P到过A，B的直线之间的距离d＝ABPBPA例2、点P到A,B,C所在平面的距离d＝ACABPCPBPA,,因为四面体PABC的体积V＝ABCSd31而ABCS＝ACAB21又V＝PCPBPA,,61例3、过点A，B与过点C，D的异面直线之间的距离d＝CDABCDABAC,,因为DCCD84d＝平行四边形面积平行六面体体积§5.2平面与直线（甲）内容要点一、空间解析几何1空间解析几何研究的基本问题。（1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程，（2）已知坐标x，y和z间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。2距离公式空间两点111,,zyxA与222,,zyxB间的距离d为212212212zzyyxxd3定比分点公式zyxM,,是AB的分点：MBAM,点A,B的坐标为111,,zyxA，222,,zyxB，则121xxx，121yyy，121zzz当M为中点时，221xxx，221yyy，221zzz二、平面及其方程。1法（线）向量，法（线）方向数。与平面垂直的非零向量，称为平面的法向量，通常记成n。法向量pnm,,的坐标称为法（线）方向数。对于给定的平面，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。2点法式方程已知平面过000,,zyxM点，其法向量n＝{A,B,C},则平面的方程为0000zzCyyBxxA或00nrr其中0000,,,,,rxyzrxyz3一般式方程0DCzByAx85其中A,B,C不全为零.x,y,z前的系数表示的法线方向数，n＝{A,B,C}是的法向量特别情形：0CzByAx，表示通过原点的平面。0DByAx，平行于z轴的平面。0DAx，平行yOz平面的平面。x＝0表示yOz平面。4三点式方程设111,,zyxA,222,,zyxB,333,,zyxC三点不在一条直线上。则通过A,B,C的平面方程为0131213121312111zzzzyyyyxxxxzzyyxx5平面束设直线L的一般式方程为0022221111DzCyBxADzCyBxA，则通过L的所有平面方程为1K1111DzCyBxA+2K02222DzCyBxA，其中0,0,21kk6有关平面的问题两平面为1：01111DzCyBxA2：02222DzCyBxA1与2间夹角222222212121212121cosCBACBACCBBAA垂直条件0212121CCBBAA平行条件21212121DDCCBBAA重合条件21212121DDCCBBAA7设平面的方程为0DCzByAx，而点111,,zyxM为平面外的一点，则M86到平面的距离d：222111CBADCzByAxd三直线及其方程1方向向量、方向数与直线平行的非零向量S，称为直线L的方向向量。方向向量的坐标称为方向数。2直线的标准方程（对称式方程）。nzzmyylxx000其中000,,zyx为直线上的点，nml,,为直线的方向数。3参数式方程：ntzzmtyyltxx0004两点式设111,,zyxA,222,,zyxB为不同的两点，则通过A和B的直线方程为121121121zzzzyyyyxxxx5一般式方程（作为两平面的交线）：111222,,,,SABCABC6有关直线的问题两直线为1L:111111nzzmyylxx2L:222222nzzmyylxx0022221111DzCyBxADzCyBxA87间夹角与21ll222222212121212121cosnmlnmlnnmmll＝垂直条件0212121nnmmll平行条件212121nnmmll四、平面与直线相互关系平面的方程为：0DCzByAx直线L的方程为：nzzmyylxx000L与间夹角222222·sinnmlCBACnBmAlL与垂直条件CnBmAlL与平行条件0CnBmAlL与重合条件0CnBmAlL上有一点在上（乙）典型例题例1．求通过2,1,10M和直线05201:zyxzyxl的平面方程。解通过l的所有平面的方程为052121zyxKzyxK其中21,KK为任意实数，且不同时为0。今把2,1,10M代上上面形式的方程得0521,2111121KK880221KK212KK由于方程允许乘或除一个不为0的常数，故取12K,得21K，代入方程得05212zyxzyx即4x－y－z－3＝0它就是既通过点0M又通过直线l的平面方程。例2求过直线02032zyxzyx且切于球面1222zyx的平面解过所给直线除平面02zyx外的其它所有平面方程为0232zyxzyx即032121zyx*球面与平面相切，因此球心到平面距离应等于半径于是121213000222得032626191代入*得两个所求的平面§5.3曲面与空间曲线（甲）内容要点一、曲面方程1、一般方程0,,zyxF2、参数方程vuzzvuyyvuxx,,,平面区域Dvu,二、空间曲线方程1、一般方程0,,0,,21zyxFzyxF892、参数方程tzztyytxxt三、常见的曲面方程1、球面方程设0000,,zyxP是球心，R是半径，P（x，y，z）是球面上任意一点，则0PPR,即2202020Rzzyyxx。2.旋转曲面的方程（ⅰ）设L是xOz平面上一条曲线，其方程是.0,0,yzxfL绕z轴旋转得到旋转曲面，设P（x，y，z）是旋转面上任一点，由点000,0,zxP旋转而来（点zM,0,0是圆心）.由22000,xMPMPxyzz得旋转面方程是;0,22zyxf（ⅱ）求空间曲线0,,0,,21zyxFzyxF绕z轴一周得旋转曲面的方程第一步：从上面联立方程解出zgyzfx,第二步：旋转曲面方程为zgzfyx2222绕y轴一周或绕x轴一周的旋转曲面方程类似地处理3、二次曲面曲面名称方程曲面名称方程椭球面1222222czbyax旋转抛物面)0(2222pzpypx椭圆抛物面)0,(2222qpzqypx双曲抛物面)0,(2222qpzqypx单叶双曲面1222222czbyax双叶双曲面1222222czbyax90二次锥面0222222czbyax椭圆柱面12222byax双曲柱面12222byax抛物柱面2(0)2xypp四、空间曲线在坐标平面上的投影曲线C的方程0,,0,,zyxGzyxF曲线C在xy平面上的投影先从曲线C的方程中消去Z得到0,yxH，它表示曲线C为准线，母线平行于Z轴的柱面方程，那么00,zyxH就是C在xy平面上的投影曲线方程曲线C在zx平面上投影或在yz平面上投影类似地处理（乙）典型例题例1、求以点A（0，0，1）为顶点，以椭圆,,3192522zyx为准线的锥面方程。解过椭圆上任一点P000,,zyx的母线方程为ttzztyytxx2111000因为点000,,zyx在椭圆上，所以19252222tytx。而t＝21z，将其代入椭圆方程，得锥面的方程为041925222zyx。例2、求旋转抛物面22yxz与平面zy=1的交线在xy平面上投影方程解从曲线方程122zyyxz中消去z，得曲线向xy平面得投影柱面方程122yyx。于是曲线在xy平面商得投影曲线的方程为0452122zyx91例3、求直线L：tztytx32321在三个坐标面上的投影；解在三个坐标面上的投影分别为01在xy平面上：0321ztytx02在xz平面tzytx3202103在yz平面上tztyx3230例4、求直线L：11111zyx在平面012:zyx上的投影直线0L的方程，并求0L绕y轴一周所成曲面的方程。解：过L作垂直于的平面**,的法向量kjikjilnn23111211*故*的方程为0123zyx投影直线0L的方程为201231012zyxzyx从（1）+（2）得2x－4y＝0从（1）－（2）得2y+4z－2＝0这样得到0L的另一个方程为1212yzyx于是0L绕y轴一周所得曲面方程为22221414yyzx即0124174222yzyx