2011高考二轮复习文科数学专题一 4第四讲 导数及其应用

高考·二轮·数学（文科）专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数第四讲导数及其应用高考·二轮·数学（文科）考点整合高考·二轮·数学（文科）导数的概念及运算考纲点击1．了解导数概念的实际背景．2．理解导数的几何意义．3．能根据导数定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝的导数．1x高考·二轮·数学（文科）基础梳理一、导数的概念及运算1．导数的定义(1)f(x)在x＝x0处的导数为：＝f′(x0)＝________＝________.(2)f(x)在定义域内的导数(导函数)f′(x)＝y′＝________＝________.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)的几何意义是：曲线y＝f(x)在点________处的切线的________(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．0xxy|＝高考·二轮·数学（文科）01.(1)limxyx000()()limxfxxfxx0(2)limxyx0()()limxfxxfxx2．(x0，f(x0))斜率答案：高考·二轮·数学（文科）整合训练1．(2009年深圳毕业考)若f′(x0)＝2，则＝__________.00()()lim2kfxkfxk答案：－1高考·二轮·数学（文科）考纲点击求基本初等函数的导数1．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．2．掌握常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式．高考·二轮·数学（文科）基础梳理二、基本初等函数的导数公式和运算法则1．基本初等函数的导数公式函数导数①f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝________②f(x)＝xn(n∈N*)f′(x)＝________③f(x)＝sinxf′(x)＝________④f(x)＝cosxf′(x)＝________⑤f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝________⑥f(x)＝exf′(x)＝________⑦f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝________⑧f(x)＝lnxf′(x)＝________高考·二轮·数学（文科）2.导数的四则运算法则(1)[u(x)±v(x)]′＝__________________；(2)[u(x)v(x)]′＝____________________；(3)[]′＝________________(v(x)≠0)．3．复合函数求导复合函数y＝f(g(x))的导数和y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系为y′x＝________.uxvx1.0nxn－1cosx－sinxaxlnaex1xlna1x2．(1)u′(x)±v′(x)(2)u′(x)·v(x)＋u(x)·v′(x)(3)u′x·vx－ux·v′xv2x3．yu′·ux′答案：高考·二轮·数学（文科）整合训练2．(1)(2010年山东卷)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)(2)求下列函数的导数：①y＝(2x2－1)(3x＋1)；②y＝x2sinx.答案：(1)D(2)①y′＝18x2＋4x－3，②y′＝2xsinx＋x2cosx高考·二轮·数学（文科）考纲点击导数的应用1．了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调性区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．3．会利用导数解决某些实际问题．高考·二轮·数学（文科）基础梳理三、导数的应用1．函数的单调性与导数的关系一般地，函数的单调性与其导数的正负值有如下关系：在某个区间(a，b)内(1)如果________函数f(x)在这个区间内单调递增．(2)如果_________函数f(x)在这个区间内单调递减．(3)如果________f(x)在这个区间内是常数函数．2．函数的极值与导数的关系一般地，对于函数y＝f(x)．(1)若在点x＝a处有f′(a)＝0，且在点x＝a附近的左侧________，右侧________，称x＝a为f(x)的极小值点；______叫函数f(x)的极小值．高考·二轮·数学（文科）(2)若在点x＝b处有f′(b)＝0，且在点x＝b附近在左侧________，右侧________，称x＝b为f(x)的极大值点，______叫函数f(x)的极大值．3．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的________．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是______，最小的一个是______．高考·二轮·数学（文科）答案：1.(1)f′(x)＞0(2)f′(x)＜0(3)f′(x)＝02.(1)f′(x)＜0f′(x)＞0f(a)(2)f′(x)＞0f′(x)＜0f(b)3.(1)极值(2)最大值最小值、高考·二轮·数学（文科）整合训练3．(1)(2009年中山模拟)函数y＝4x2＋1x的单调递增区间为()A．(0，＋∞)B.12，＋∞C．(―∞，―1)D.―∞，―12答案：(1)B(2)C(2)(2010年山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件－13x3＋81x－高考·二轮·数学（文科）高分突破高考·二轮·数学（文科）利用导数解决曲线的切线问题已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R.(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)当a≠时，求函数f＝(x)的单调区间与极值．23解析：(1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e.(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.令f′(x)＝0，解得x＝－2a，或x＝a－2.由a≠知，－2a≠a－2.23高考·二轮·数学（文科）以下分两种情况讨论．①若则－2a＜a－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下所示：a＞23，x(－∞，－2a)－2a(－2a，a－2)a－2(a－2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)内是增函数，在(－2a，a－2)内是减函数．函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.高考·二轮·数学（文科）②若则－2a＞a－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：a＞23，x(－∞，a－2)a－2(a－2，－2a)－2a(－2a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)内是增函数，在(a－2，－2a)内是减函数．函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.高考·二轮·数学（文科）跟踪训练1．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求：(1)a的值；(2)函数f(x)的单调区间．高考·二轮·数学（文科）解析：(1)因f(x)＝x3＋ax2－9x－1，所以f′(x)＝3x2＋2ax－9＝3x＋a32－9－a23.即当x＝－a3时，f′(x)取得最小值－9－a23.因斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，即该切线的斜率为－12，∴－9－a23＝－12，即a2＝9.解得a＝±3，由题设a＜0，∴a＝－3.高考·二轮·数学（文科）(2)由(1)知a＝－3，因此f(x)＝x3－3x2－9x－1，f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)，令f′(x)＝0，解得：x1＝－1，x2＝3.当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－1)上为增函数；当x∈(－1,3)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－1,3)上为减函数；当x∈(3，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(3，＋∞)上为增函数．由此可见，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)；单调递减区间为(－1,3)．高考·二轮·数学（文科）利用导数研究函数的单调性问题(2010年重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值．解析：(1)由题意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b.因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即对任意实数x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]，从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0，因此f(x)的表达式为f(x)＝－x3＋x2.1313高考·二轮·数学（文科）(2)由(1)知g(x)＝－13x3＋2x，所以g′(x)＝－x2＋2，令g′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2，则当x＜－2或x＞2时，g′(x)＜0，从而g(x)在区间(－∞，－2]，[2，＋∞)上是减函数；当－2＜x＜2时，g′(x)＞0，从而g(x)在区间[－2，2]上是增函数．由前面讨论知，g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x＝1，2，2时取得，而g(1)＝53，g(2)＝423，g(2)＝43，因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g(2)＝423，最小值为g(2)＝43.高考·二轮·数学（文科）跟踪训练2．已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋，x≥0，其中a＞0.(1)若f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间．1－x1＋x解析：(1)f′(x)＝aax＋1－21＋x2＝ax2＋a－2ax＋11＋x2，∵f(x)在x＝1处取得极值，∴f′(1)＝0，即a＋a－2＝0，解得a＝1.(2)f′(x)＝ax2＋a－2ax＋11＋x2，∵x≥0，a＞0,∴ax＋1＞0.高考·二轮·数学（文科）①当a≥2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)＞0，∴f(x)的单调递增区间为[0，＋∞)．②当0＜a＜2时，由f′(x)＞0解得x＞2－aa，或x＜－2－aa(舍去，∵x≥0)由f′(x)＜0解得－2－aa＜x＜2－a2，又∵x≥0，∴0≤x＜2－aa，∴f(x)的单调递减区间为0，2－aa，单调递增区间为2－aa，＋∞高考·二轮·数学（文科）利用导数研究函数的极值与最值问题(2009年广东卷)已知二次函数y＝g(x)的导函数的图象与直线y＝2x平行，且y＝g(x)在x＝－1处取得最小值m－1(m≠0)．设函数f(x)＝.(1)若曲线y＝f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为，求m的值；(2)k(k∈R)如何取值时，函数y＝f(x)－kx存在零点，并求出零点．gxx2高考·二轮·数学（文科）解析：(1)设g(x)＝ax2＋bx＋c，则g′(x)＝2ax＋b；又g′(x)的图象与直线y＝2x平行，∴2a＝2，a＝1又g(x)