高等数学_函数与极限

微积分（高等数学）——中国药科大学龙益如01初等数学预备知识03导数与微分05不定积分07多元函数微分学02极限与连续04导数的应用06定积分08微分方程C目录ONTENTS2020/3/7函数与极限3数学既是对于自然界事实的总结和归纳，如英国的哲学家培根所说“一切多依赖于我们把眼睛紧盯在自然界的事实之上”；又是抽象思考的结果，如法国哲学家笛卡尔所说“我思故我在”。这两个方法造就了目前绚丽多彩，美丽非凡的数学，非常值得欣赏。从事科学研究，最重要的是掌握思维方法。在这里，我举两个例子：牛顿是伟大的物理学家和数学家，他在《自然哲学的数学原理》中叙述了四条法则。其中“法则1：除那些真实而已足够说明其现象者外，不必去寻找自然界事物的其他原因”。这条法则后来被人们称作“简单性原则”，正如爱因斯坦所说：“从希腊哲学到现代物理学的整个科学史中，不断有人力图把表面上极为复杂的自然现象归结为几个简单的基本概念和关系。这就是整个自然哲学的基本原理。”数学之美2020/3/7函数与极限4函数一、基本概念2020/3/7函数与极限51.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.},,,{21naaaA}{所具有的特征xxM有限集无限集,Ma,Ma.,,的子集是就说则必若BABxAx.BA记作2020/3/7函数与极限6数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:.,,RQQZZN.,,相等与就称集合且若BAABBA)(BA},2,1{A例如},023{2xxxC.CA则不含任何元素的集合称为空集.)(记作例如,}01,{2xRxx规定空集为任何集合的子集.2020/3/7函数与极限72.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点..,,baRba且}{bxax称为开区间,),(ba记作}{bxax称为闭区间,],[ba记作oxaboxab2020/3/7函数与极限8}{bxax}{bxax称为半开区间,称为半开区间,),[ba记作],(ba记作}{),[xaxa}{),(bxxboxaoxb有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.2020/3/7函数与极限93.邻域:.0,且是两个实数与设a).(0aU记作,叫做这邻域的中心点a.叫做这邻域的半径.}{)(axaxaUxaaa,邻域的去心的点a.}0{)(axxaU,}{邻域的称为点数集aaxx2020/3/7函数与极限104.常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.2020/3/7函数与极限115.绝对值:00aaaaa)0(a运算性质:;baab;baba.bababa)0(aax;axa)0(aax;axax或绝对值不等式:2020/3/7函数与极限12因变量自变量.)(,000处的函数值为函数在点称时当xxfDx.}),({称为函数的值域函数值全体组成的数集DxxfyyW变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作定义设x和y是两个变量,D是一个给定的数集，数集D叫做这个函数的定义域)(xfy如果对于每个数Dx,二、函数概念2020/3/7函数与极限13(())0x)(0xf自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.xyDW约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.21xy例如，]1,1[:D211xy例如，)1,1(:D2020/3/7函数与极限14定义:.)(}),(),{(的图形函数称为点集xfyDxxfyyxCoxy),(yxxyWD如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．．例如，222ayx2020/3/7函数与极限15(1)符号函数010001sgnxxxxy当当当几个特殊的函数举例1-1xyoxxxsgn2020/3/7函数与极限16(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线x2020/3/7函数与极限17是无理数时当是有理数时当xxxDy01)(有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数2020/3/7函数与极限18(4)取最值函数)}(),(max{xgxfy)}(),(min{xgxfyyxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg2020/3/7函数与极限190,10,12)(,2xxxxxf例如12xy12xy在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.2020/3/7函数与极限20例1脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间的函数关系式.)0(tt解UtoE),2(E)0,(2,]2,0[时当ttEU2;2tE单三角脉冲信号的电压,],2(时当t),(200tEU)(2tEU即2020/3/7函数与极限21,),(时当t.0U其表达式为是一个分段函数,)(tUU),(,0],2(),(2]2,0[,2)(tttEttEtUUtoE),2(E)0,(22020/3/7函数与极限22例2.)3(,212101)(的定义域求函数设xfxxxf解23121301)3(xxxf212101)(xxxf122231xx]1,3[:fD故三、函数的特性2020/3/7函数与极限23M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX0x,)(,,0,成立有若MxfXxMDX1．函数的有界性:..)(否则称无界上有界在则称函数Xxf2020/3/7函数与极限242．函数的单调性:,,)(DIDxf区间的定义域为设函数,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI;)(上是单调增加的在区间则称函数Ixf),()()1(21xfxf恒有)(xfy)(1xf)(2xfxyoI2020/3/7函数与极限25)(xfy)(1xf)(2xfxyoI;)(上是单调减少的在区间则称函数Ixf,,)(DIDxf区间的定义域为设函数,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI),()()2(21xfxf恒有2020/3/7函数与极限263．函数的奇偶性:偶函数有对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxfyx)(xf)(xfyox-x)(xf;)(为偶函数称xf2020/3/7函数与极限27有对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxf;)(为奇函数称xf奇函数)(xfyx)(xfox-x)(xfy2020/3/7函数与极限284．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,)(Dxf的定义域为设函数如果存在一个不为零的.)()(恒成立且xflxf为周则称)(xf.)(,,DlxDxl使得对于任一数.)(,的周期称为期函数xfl2l2l23l23l2020/3/7函数与极限29)(xfy直接函数xyo),(abQ),(baP)(xy反函数直接函数与反函数的图形关于直线对称.xy四、反函数五、小结2020/3/7函数与极限30基本概念集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值.函数的概念函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.反函数2020/3/7函数与极限31思考题设0x，函数值21)1(xxxf，求函数)0()(xxfy的解析表达式.2020/3/7函数与极限32思考题解答设ux1则2111uuuf,112uu故)0(.11)(2xxxxf2020/3/7函数与极限33一、填空题:1、若2251tttf,则__________)(tf,__________)1(2tf.2、若3,sin3,1)(xxxt,则)6(=_________，)3(=_________.3、不等式15x的区间表示法是_________.4、设2xy,要使),0(Ux时，)2,0(Uy,须__________.练习题2020/3/7函数与极限34二、证明xylg在),0(上的单调性.三、证明任一定义在区间)0(),(aaa上的函数可表示成一个奇函数与一个偶函数之和.四、设)(xf是以2为周期的函数，且10,001,)(2xxxxf,试在),(上绘出)(xf的图形.五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数.六、证明函数acxbaxy的反函数是其本身.七、求xxxxeeeexf)(的反函数，并指出其定义域.2020/3/7函数与极限35一、1、225tt,222)1(2)1(5tt；2、1,1；3、(4,6)；4.]2,0(.七、)1,1(,11lnxxy.练习题答案2020/3/7函数与极限36初等函数一、基本初等函数2020/3/7函数与极限371.幂函数)(是常数xyoxy)1,1(112xyxyxy1xy2020/3/7函数与极限382.指数函数)1,0(aaayxxayxay)1()1(a)1,0(xey2020/3/7函数与极限393.对数函数)1,0(logaaxyaxylnxyalogxya1log)1(a)0,1(2020/3/7函数与极限404.三角函数正弦函数xysinxysin2020/3/7函数与极限41xycosxycos余弦函数2020/3/7函数与极限42正切函数xytanxytan2020/3/7函数与极限43xycot余切函数xycot2020/3/7函数与极限44正割函数xysecxysec2020/3/7函数与极限45xycsc余割函数xycsc2020/3/7函数与极限465.反三角函数xyarcsinxyarcsin反正弦函数2020/3/7函数与极限47xyarccosxyarccos反余弦函数2020/3/7函数与极限48xyarctanxyarctan反正切函数2020/3/7函数与极限49幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.xycot反余切函数arcxycotarc二、复合函数初等函数2020/3/7函数与极限501.复合函数,uy设,12xu21xy定义:设函数)(ufy的定义域fD,而函数)(xu的值域为Z,若ZDf,则称函数)]([xfy为x的复合函数.,自变量x,中间变量u,因变量y2020/3/7函数与极限51注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,arcsinuy例如;22xu)2arcsin(2xy2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,2cotxy例如,uy,cotvu.2xv2.初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.2020/3/7函数与极限52例1)].([,0,10,2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx