武汉理工大学2012-2013学年第二学期高等数学(A)下期中试卷及答案[1]

1…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………姓名学号专业班级学院武汉理工大学考试试卷及参考答案（A卷）2012~2013学年2学期高等数学A（下）课程任课教师．．．．80学时，5学分，闭卷，总分100分，占总评成绩70%，2013年07月2日题号一二三四五六合计满分152049106100得分一、选择题（本题共5小题，每小题3分）1、设24,=ln(1)fxyxy，则（C）（A）(0,0)xf与(0,0)yf都不存在（B）(0,0)xf存在，(0,0)yf不存在（C）(0,0)xf不存在，(0,0)yf存在（D）(0,0)xf与(0,0)yf都存在2、设函数,fxy可微，且对任意x，y都有(,)0fxyx，(,)0fxyy，则使不等式1122,,fxyfxy成立的一个充分条件是(D)(A)12xx，12yy(B)12xx，12yy(C)12xx，12yy(D)12xx，12yy3、设非齐次线性微分方程()()yPxyQx有两个不同的解1()yx，2()yx，C为任意常数，则该方程的通解是(B)(A)12[()()]Cyxyx(B)112()[()()]yxCyxyx(C)12[()()]Cyxyx(D)112()[()()]yxCyxyx4、设区域D由曲线=cos,=022yxxy围成，则21)=Dxydxdy（C）(A)(B)2(C)2(D)5、若级数1nna收敛，则级数(D)(A)1nna收敛(B)1(1)nnna收敛(C)11nnnaa收敛(D)112nnnaa收敛得分2二、填空题（本题共5小题，每小题4分）1、向量cba,,两两垂直，且1,2,3abc，cbas则s14.2、曲面22zxy上与平面240xyz平行的切平面方程为2450xyz.3、已知曲线L的方程为1(0)yxy，起点是(1,0)，终点是(1,0)，则曲线积分2Lxydxxdy0.4、设有球面)0(:2222aazyx，则222xyzdS34a.5、若2lim1nnncc，则幂级数02nnnxc的收敛半径为R2.三、计算题（本题共7小题，每小题7分）1、设22(sin,),zfxxyf具有二阶连续偏导数，求yxz2.解：22zyfy…………………3分212222cos2zyfxxfxy…………………7分2、求微分方程4yxydxdy的通解.解：把x看作未知函数，y看作自变量，有31yxydydx，…………………2分其对应的线性齐次方程的通解为：.xCy…………………5分得原方程的通解：413xyCy.…………………7分得分得分33、先将22sin1cos2DIrrdrd转化为直角坐标下的二重积分，再计算I的值，其中(,)0sec,04Drr.解：221DIyxydxdy…………………2分122001xdxyxydy…………………5分31220111(1)33316xdx.…………………7分4、设有空间区域22(,,)1xyzxyz，求的形心的竖坐标z.解：由形心公式zdvzdv，…………………2分112003zDzdvzdzdxdyzdz，…………………5分11002zDdvdzdxdyzdz，23z.…………………7分5、计算(sin5)(cos5)xxLIeyydxeydy，其中L是从点2,0沿椭圆19422yx上方至2,0的一弧段.解：11(sin5)(cos5)(sin5)(cos5)xxxxLLLIeyydxeydyeyydxeydy……3分50Dd15.……7分46、计算23Ixzdydzzydzdxxydxdy，其中为曲面22114zxy与平面0z所围成的立体边界曲面的外侧.解：3Izdv…………………2分103zDzdzdxdy…………………5分1032(1).zzdz.…………………7分7、将函数21()(1)fxx在10x处展开成幂级数.解：1()1fxx，…………………2分100111111111222212nnnnnnxxxx，…………………5分1111()12nnnfxnx，1,3x.…………………7分…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………5…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………四、应用题（本题满分10分）已知曲线22220,:35xyzCxyz，求C上距离xOy面最远的点和最近的点.解：设2222(,,,,)(2)(35)Fxyzzxyzxyz，…………3分由222202024302035xyzFxFyFzzxyzxyz…………7分解得：151,515xxyyzz.maxmin5,1dd.最远点：(5,5,5)；最近点：(1,1,1).…………10分得分6五、证明题（本题满分6分）设11112,()(1,2,),2nnnaaana证明级数11(1)nnnaa收敛.证明：先证limnna存在.111()1(1,2,),2nnnaana121111(1)(1)1,221nnnaaa所以limnna存在.…………3分111101nnnnnnnaaaaaaa，对于11()nnnaa，1limlim()nnnnSaa存在，由比较审敛法知，11(1)nnnaa收敛.…………6分得分