微积分常用公式及运算法则(上)

1微积分常用公式及运算法则常用三角公式：sin22sincosααα=；2222cos2cossin2cos112sinαααα=−=−=−22tantan21tanaαα=−；2cos12sin2αα−=；2cos12cos2αα+=；αααcos1cos12tan2+−=；αααααsincos1cos1sin2tan−=+=；22tansin21tanααα=+；221tancos21tanααα−=+；22tantan21tanααα=−；22sincos1αα+=221tansecαα+=221cotcscαα+=积化和差：()()()()()()()()1sincossinsin21cossinsinsin21sinsincoscos21coscoscoscos2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⋅=++−⋅=+−−⋅=−−+⋅=++−和差化积：sinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+−+=⋅+−−=⋅+−+=⋅+−+=−⋅集合的并、交、余运算律：交换律,;ABBAABBA==∪∪∩∩结合律()(),()();ABCABCABCABC==∪∪∪∪∩∩∩∩分配律()()(),()()();ABCABACABCABAC==∩∪∩∪∩∪∩∪∩∪对偶律(),();ccccccABABABAB==∪∩∩∪初等函数：双曲正弦、余弦、正切及运算sinh()2xxeeyxy−−==−∞+∞，cosh(1)2xxeeyxy−+==，sinhtanh(11)coshxxxxxeeyxyxee−−−===−+22arsinhln(1),(,)arcoshln(1),(1,0)11artanhln,(11,)21yxxxxRyRyxxxxyxyxxyRx==++∈∈==+−≥−≥+==−∈−sinh()sinhcoshcoshsinh,cosh()coshcoshsinhsinh,sinh()sinhcoshcoshsinh,cosh()coshcoshsinhsinhxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy+=•+•+=•+•−=•−•−=•−•2222sinh22sinhcosh,cosh2coshsinh,coshsinh1.xxxxxxxx=•=+−=2极限的运算法则：lim(),lim(),lim[()()]lim()lim()lim[()()]lim()lim()()lim()lim(0)()lim()fxAgxBfxgxABfxgxfxgxABfxgxfxAfxBgxBgx==±=±=±==•==≠设那么其中112211221212lim(),1,2,,,,1,2,,lim[()()()],lim[()()()]iiinnnnnnfxAinkRinkfxkfxkfxkAkAkAfxfxfxAAA==∈=+++=+++=⋯⋯⋯⋯⋯⋯设那么对有00000(),(),()0,lim()()()lim()lim()()xxxxxxPxQxQxPxPxPxQxQxQx→→→≠==为多项式当有0000101101,0,lim0mmmnnxnabamnbaxaxamnbxbxbmn−−→∞≠=+++=+++∞⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯对有理分式函数在无穷大处的极限，有当时当当当000000lim(),lim(),()lim[()]lim()uuxxxxuufuAuxuuxufuxfuA→→→→==≠==设且则重要极限：0sinlim1sintan0,2xxxxxxxπ→=∈1lim1nnn→∞=1lim1xxx→+∞=()10111lim1,lim1,lim1xxxxxxexexxe→∞→∞→+=−=+=等价无穷小：20,sintanarcsinarctanln(1)1;1cos;(1)1(0);21ln(0,1).xaxxxxxxxxexxxaxaaxaaa→+−−+−≠−≠∼∼∼∼∼∼∼∼∼当时函数连续性：00lim()()xxfxfx→=导数定义：00()()()limlimxxyfxxfxfxxxΔ→Δ→Δ+Δ−′==ΔΔ00()()|xxfxfx=′′=求导公式：122222()0,(),()ln()1(ln)1(log)ln(sin)cos(cos)sin(tan)sec(cot)csc(sec)sectan(csc)csccot1(arcsin)11(arccos)11(arctan)1(arxxxxaCxxaaaeexxxxaxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxμμμ−′=′=′=′=′=′=′=′=−′=′=−′=′=−′=−′=−−′=+ii21ccot)1xx′=−+3(sinh)cosh(cosh)sinhxxxx′=′=微分公式：122d()0d,d()d,d()lndd()d1d(ln)d1d(log)dlnd(sin)cosdd(cos)sindd(tan)secdd(cot)cscdxxxxaCxxxxaaaxeexxxxxxxaxxxxxxxxxxxxμμμ−========−==−2222d(sec)sectandd(csc)csccotd1d(arcsin)d11d(arccos)d11d(arctan)d11d(arccot)d1d(sinh)coshdd(cosh)sinhdxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx==−=−=−−=+=−+==ii求导法则：2()()()()()()1()()uvuvuvuvuvuvuvuvwuvwuvwuvwuuvuvvvxyyfxfxyαβαβϕϕ′′′+=+′′′+=+′′′=+′′′′=++′′′−===′=′设，它的反函数是，则有ddddddyyuxux=i链式求导法则：()[()]ln()ln()()()()ln()()vxyuxyvxuxxyvxuxvxuxyux==′′′=+对数求导法则：求幂指函数的导数时，可先取对数，得，然后两端对求导，得参数方程求导：()()dddd()ddddd()dxtytyyytttxxtxttϕφφϕ==′===′i若对参数方程求导，则有高阶导数：()()1()()()()(1)()()()()2211()!1(1)!()(sin)sin2(cos)cos2(1)1(1)()1(1)!112()()nnnnnxnxnnnnnnnnnnnnxnnxxeenxxnxnxxxuvuvnxaaxaxaππαβαβ+−++=−===+=+−+=−−++=+−=−−−+当()()()0()nnknkknkuvCuv−==∑4微分定义：d()()dyfxxfxx′′=Δ=微分求近似值（线性逼近或一次近似）：00000000d()()()()()()()yyxxxfxxfxfxxxxxfxfxfxxxΔ≈=+Δ′+Δ≈+Δ=+Δ′≈+−令得，常用一次近似式：1;sin;tan;(1)1;ln(1);xaexxxxxxaxxx≈+≈≈+≈++≈拉格朗日定理：()[,],(,),(,)()()()()fxCabfDababfbfafbaξξ∈∈∈′−=−若并且那么至少存在一点，使柯西中值定理：,[,],,(,),(,)()0,(,)()()()()()()fgCabfgDababgxabfbfafgbgagξξξ∈∈≠∈′−=′−若并且在内那么至少存在一点，使泰勒中值定理：01200000()00(1)100()(,)(1)(,)(,)1()()()()()()2!1()()()!()()(),(1)!()nnnnnnnnfxxabnfDabxabfxfxfxxxfxxxfxxxRxnfRxxxnRxxxξξ++++∈∈′′′=+−+−++−+=−+⋯如果函数在含的某个开区间内具有阶导数，即，那么对于，有其中称为拉格朗日余项，这里是与之间的某个值拉格朗日中值公式：000()()()()nfxfxfxxξ=′=+−当时，泰勒公式就是拉格朗日中值公式：麦克劳林公式：000(01)xxxξξθθ==在泰勒公式中，的特殊情况比较重要。此时在与之间，可记为。2()(1)1(0)()(0)(0)2!(0)()!(1)!nnnnffxffxxffxxxnnθ++′′′=++++++⋯的的的的n阶泰勒公式阶泰勒公式阶泰勒公式阶泰勒公式：：：：211112!!(1)!(0)xxnneexxxxnnxθθ+=++++++⋯带有佩亚诺余项的泰勒公式：0(1)200000()000()(,)1()(,)()(,)1()()()()()()2!1()()(()).!nnnnfxxabnfxabfxabnfxfxfxxxfxxxfxxxoxxn++′′′=+−+−++−+−⋯如果函数在含有的开区间内具有直道阶的导数，且在内有界则在内有阶带有佩亚诺余项的泰勒公式：常见的基本初等函数的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式：235121224221123111()2!!11sin3!5!(1)()(21)!11(1)cos1()2!4!(2)!11(1)ln(1)()23xnnmmmmmmnnnexxxoxnxxxxxoxmxxxxoxmxxxxxoxn−−+−=+++++=−+−−++−−=−+−++−+=−+−++⋯⋯⋯⋯()xfxe=52(1)(1)12!(1)(1)()!nnxxxnxoxnααααααα−+=+++−−+++⋯⋯洛必达法则000000(),()()0,(1)lim()lim()0;()(2)lim()()()limlim()()xxxxxxxxxxfxgxxgxfxgxfxgxfxfxgxgx→→→→→′≠===∞′∞′′=′设在点的某个去心领域内可导,并且又满足条件：或存在或为平均曲率||||sKsMMMMααΔ=Δ′Δ′Δ为曲线上弧段的长为点到点曲线的切线的转角曲率公式23/2(,)||(1)MxyyKy′′=′+曲线在点处的曲率公式223/2()()|()()()()|[()()]CxtytttttKttϕφϕφϕφϕφ==′′′′′′−=′′+当曲线由参数方程给出时，1Kρ=其中为曲率半径微积分运算()()()()()d()d()()d()()d()()d()d()dfxxfxCfxfxxfxCfxxFxCfxfxxfxx′=+′==+′′=+==∫∫∫∫∫基本积分表1222222d(1,d)d11dln||1darctan11darcsin1cosdsinsindcos1dsecdtancos1dcscdcotsinsectandseccsccotdcskxkxCkxxCxxxCxxCxxxCxxxCxxxxCxxxCxxxxCxxxxxCxxxxxCxxxμμμ+=+==+=++=+=++=+−=+=−+==+==−+=+=−∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫时cxC+dd(0,1)lnsinhdcoshcoshdsinhxxxxexeCaaxCaaaxxxCxxxC=+=+≠=+=+∫∫∫∫不定积分线性运算法则[()()]d()d()duxvxxuxxvxxαβαβ+=+∫∫∫不定积分的换元法[]1()()[()]()d()d()d[()]()duxtxfxxxfuufxxftttϕφϕϕφφ−==′=′=∫∫∫6积分公式()22222222222222222d1arctandarcsind1arcsin(0,0)d1ln2secdln|sectan|cscdln|csccot|dln(0)dln||xxCaxaaxxCaaxxbxCabbaabxxxaCxaaxaxxxxCxxxxCxxxaCaxaxxxaCxa=+