数值分析实验报告2

第1页实验报告一、实验名称复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式及自适应辛普森积分。二、实验目的及要求1.掌握复合梯形求积计算积分、复合辛普森求积计算积分、龙贝格求积计算积分和自适应辛普森积分的基本思路和步骤.2.培养Matlab编程与上机调试能力.三、实验环境计算机，MATLAB软件四、实验内容1.用不同数值方法计算积分94ln10xdxx。（1）取不同的步长h。分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h的函数，并与积分精确指比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h，使得精度不能再被改善。（2）用龙贝格求积计算完成问题（1）。（3）用自适应辛普森积分，使其精度达到10-4。五、算法描述及实验步骤1.复合梯形公式将区间[a,b]划分为n等份，分点xk=a+ah,h=(b-a)/h,k=0,1,...,n，在每个子区间[xk,xk+1](k=0,1,...,n-1)上采用梯形公式（1.1），得)]()([2)(bfafabdxxfba（1.1）)]()(2)([2)]()([211110bfxfbfhxfxfhTnkkknkkn（1.2）),(),(12)(''2bafhabfRn（1.3）其中Tn称为复合梯形公式，Rn为复合梯形公式的余项。2.复合辛普森求积公式将区间[a,b]划分为n等份，在每个子区间[xk,xk+1](k=0,1,...,n-1)上采用辛普森公式（1.4），得第2页)]()2(4)([6bfbafafabS（1.4）)]()(2)(4)([6)]()()([611102/112/110bfxfxfbfhxfxfxfhSnkknkkkknkkn（1.5）),(),()2(180)()4(4bafhabfRn（1.6）其中Sn称为复合辛普森求积公式，Rn为复合辛普森求积公式的余项。3.龙贝格算法统一的公式：)(141)2(144)(11hThThTmmmmmm（1.7）经过m（m=1,2...）次加速后，余项便取下列形式：...)()2(22)1(21mmmhhIhT（1.8）上述处理方法通常称为理查森外推加速法。设以)(0kT表示二分k次后求得的梯形值，且以)(kmT表示序列｛)(0kT｝的m次加速值，则依递推公式（1.7）可得,...2,1,141144)()(1)1(1)(kTThTkmmkmmmkm（1.9）公式（1.9）也称为龙贝格求积算法，计算过程如下：（1）取k=0,h=b-a,求)]()([2)0(0bfafhT。令k1（k记区间[a,b]的二分次数）。（2）求梯形值T0((b-a)/2k),即按递推公式（1.10）计算)(0kT。102/12)(221nkknnxfhTT（1.10）（3）求加速值，按公式（1.9）逐个求出T值。（4）若)0(1)0(kkTT（预先给定的精度），则终止计算，并取ITk)0(；否则令kk1转（2）继续计算。4.自适应积分方法设给定精度要求0，计算积分dxxffIba)()(的近似值。先取步长h=b-a，应用辛普森公式有第3页),(),()2(180),()()(44bafhabbaSdxxffIba（1.11）表区间[a,b]对分，步长h2=h/2=(b-a)/2，在每个小区间上用辛普森公式，得),(),()2(180),()(4422bafhabbaSfI（1.12）上式即为),(),()4(180),()(442bafhabbaSfI（1.13）将（1.12）与（1.13）比较得2122151),(),(151),()(SSbaSbaSbaSfI(1.14)则期望得到),()(2baSfI（1.15）此时可取S2(a,b)作为dxxffIba)()(的近视，则可达到给定的误差精度。如果不行，则细分区间，进行计算。六、调试过程及实验结果取不同的步长，得到的不同结果如下表：方法步长数n8163264复合梯形-0.4081752659412-0.4300526451254-0.4384455545521-0.4420384567157复合辛普森-0.4366254599415-0.4413577845643-0.4485764578412-0.4440567812461龙贝格公式-0.4440466483230-0.444046683231-0.440466472144-0.4440466483231自适应辛普森-0.4432496512462-0.4439840234457-0.44426854611233-0.4443774893458七、总结通过本次学习Matlab，掌握了复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式及自适应辛普森积分的程序和算法，为以后处理数据提供一种更加简便，准确的方法。八、附录（源程序清单）1.复合梯形functions=fuhetixing(f,a,b,n)%f为被积分函数%a，b是积分上下限%n是子区间个数%s是积分值h=(b-a)/n;s=0;第4页fork=1:(n-1)x=a+h*k;s=s+feval('f',x);endformatlongs=h*(feval('f',a)+feval('f',b))/2+h*s;2.复合辛普森functionS=Comsimpson(f,a,b,n)%f为被积分函数%a，b是积分上下限%n是子区间个数%s是积分值h=(b-a)/(2*n);s1=0;s2=0;fork=1:nx=a+h*(2*k-1);s1=s1+feval('f',x);endfork=1:(n-1)x=a+h*2*k;s2=s2+feval('f',x);endformatlongS=h*(feval('f',a)+feval('f',b)+4*s1+2*s2)/3;3.龙贝格function[T,quad,err,h]=Romberg(f,a,b,n,delta)%f为被积分函数%a，b是积分上下限%n+1是T数表的列数%T表示T数表%quad是所求积分值%delta是设定的允许误差限m=1;h=b-a;err=1;J=0;T=zeros(n,n);%定义T表初始值T(1,1)=h*(feval('f',a)+feval('f',b))/2;while((errdelta)&(Jn))J=J+1;h=h/2;s=0;fork=1:mx=a+h*(2*k-1);第5页s=s+feval('f',x);endT(J+1,1)=T(J,1)/2+h*s;m=2*m;fori=1:JT(J+1,i+1)=T(J+1,i)+(T(J+1,i)-T(J,i))/(4^i-1);enderr=abs(T(J,J)-T(J+1,i+1));endformatlongquad=T(J+1,J+1)errT4.自适应辛普森求积公式functions=S_Adapt_Simpson(a,b,err,M)%input:a--下限%b--下限%err--thetolerance（容差）%m--初始设置的步数formatlongh=(b-a)/M;%步距s=0;fori=1:Mx=a+(i-1)*h;y=a+i*h;e=abs(simpson(x,y,2)+simpson(x,y,1))/10;j=1;while(e=err)%循环直到totol为止j=j+1;e=(abs(simpson(x,y,2^j)-simpson(x,y,1)))/10;%精度测试式ends=s+simpson(x,y,2^j);end