数列求和的七种基本方法

完美格式整理版学习好帮手数列求和的七种基本方法甘志国部分内容(已发表于数理天地(高中)，2014(11)：14-15)数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题(这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种基本方法.1运用公式法很多数列的前n项和nS的求法，就是套等差、等比数列nS的公式，因此以下常用公式应当熟记：221231123(1)2135(21)12222111111122222nnnnnnnnn还要记住一些正整数的幂和公式：2233332222)1(41321)12)(1(61321nnnnnnn例1已知数列}{na的前n项和232nnSn，求数列}{na的前n项和nT.解由232nnSn,可得nan233,160nan，所以：(1)当16n时,nT=232nnSn.(2)当17n时，512322)()()(21616161817162121nnSSSSSaaaaaaaaaTnnnnn所以2232(1,2,,16)32512(17,)nnnnTnnnnN且例2求1)2(3)1(21nnnnSn.解设2)1()1(knkknkak，本题即求数列}{ka的前n项和.完美格式整理版学习好帮手)2)(1(61)12)(1(61)1()1(21)321()1)(321(2222nnnnnnnnnnnnSn高考题1(2014年高考浙江卷文科第19题(部分))求数列21n的前n项和nS.答案：2nSn.高考题2(2014年高考四川卷理科第19题(部分))求数列24n的前n项和nS.答案：23nSnn.高考题3(2014年高考福建卷文科第17题)在等比数列{}na中，253,81aa.(1)求na；(2)设3lognnba，求数列{}nb的前n项和nS.答案：(1)13nna；(2)22nnnS.高考题4(2014年高考重庆卷文科第16题)已知na是首项为1，公差为2的等差数列，nS表示na的前n项和.(1)求na及nS；(2)设nb是首项为2的等比数列，公比q满足244(1)0qaqS，求nb的通项公式及其前n项和nT.答案：(1)221,nnanSn；(2)2122,(41)3nnnnbT.2倒序相加法事实上，等差数列的前n项和nS的公式推导方法就是倒序相加法.例3求正整数m与()nmn之间的分母为3的所有既约分数的和S.解显然，这些既约分数为：31,32,34,,34,32,31nnnmmm完美格式整理版学习好帮手有)31()32()34()34()32()31(nnnmmmS也有)31()32()34()34()32()31(mmmnnnS所以2222),(2)(2)(2mnSmnmnnmS例4设4()42xxfx，求和12320012002200220022002ffff.解可先证得()(1)1fxfx，由此结论用倒序相加法可求得答案为20012.3裂项相消法例5若}{na是各项均不为0的等差数列，求证：1113221111nnnaanaaaaaa.证明设等差数列}{na的公差为d：若0d，要证结论显然成立；若0d，得)11(1111nnnnaadaa11111113221132211111)11()11()11(1111nnnnnnnaanaanddaadaaaaaadaaaaaa例8证明222211112(123nnN且2)n.证明22221312111n11111223(1)11111111223111121nnnnn高考题5(2014年高考全国大纲卷理科第18题)等差数列{}na的前n项和为nS，已知110a，2a为整数，且4nSS.(1)求{}na的通项公式；完美格式整理版学习好帮手(2)设11nnnbaa，求数列{}nb的前n项和nT.答案：(1)133nan；(2)10(103)nnSn.高考题6(2014年高考广东卷文科第19题)设各项均为正数的数列na的前n项和为nS，且nS满足NnnnSnnSnn,033222.(1)求1a的值；(2)求数列na的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有31)1(1)1(1)1(12211nnaaaaaa.答案：(1)12a；(2)2nan；(3)当1n时，可得欲证成立.当2n时，111111(1)2(21)(21)(21)22121nnaannnnnn，再用裂项相消法可得欲证.高考题7(2014年高考山东卷理科第19题)已知等差数列}{na的公差为2，前n项和为nS，且1S，2S，4S成等比数列.(1)求数列}{na的通项公式；(2)令nb=,4)1(11nnnaan求数列}{nb的前n项和nT.答案：(1)21nan，2221221nnnnTnnn为奇数为偶数.4分组求和法例9求11111111111224242nnS.解设11111242nna，得1122nna.完美格式整理版学习好帮手所以本题即求数列1122n的前n项和：111111212222422nnnnSnnan例10设数列}{na的前n项和nS满足221nnaS，又nnnSb)1(，求数列}{nb的前n项和nT.解在221nnaS中，令1n可求得11a.还可得22114(1),4(1)nnnnSaSa相减，得20)2)((22411112211nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa所以}{na是首项为1公差为2的等差数列，得12nan所以222)1(,21nbnaSnnnn当n为偶数时，2)1()12(1173])1([)43()21(222222nnnnnTn当n为奇数时，2)1()(2)1(21nnnnnbTTnnn用以上结论总之，2)1()1(nnTnn.高考题8(2014年高考北京卷文科第15题)已知na是等差数列，满足13a，412a，数列nb满足14b，420b，且nnba是等比数列.(1)求数列na和nb的通项公式；(2)求数列nb的前n项和.完美格式整理版学习好帮手答案：(1)1=3,=32nnnanbn；(2)3(1)212nnn.高考题9(2014年高考山东卷文科第19题)在等差数列{}na中，已知公差2d，2a是1a与4a的等比中项.(1)求数列{}na的通项公式；(2)设(1)2nnnba，记1234(1)nnnTbbbbb…，求nT.答案：(1)2nan，2(1)2(1)2nnnTnnn为奇数为偶数.高考题10(2014年高考浙江卷理科第19题(部分))求数列12(1)nnn的前n项和nS.答案：1221nnn.5错位相减法高考题11(2014年高考江西卷理科第17题)已知首项都是1的两个数列nbbannn,0(,N*)满足02111nnnnnnbbbaba.(1)令nnnbac，求数列nc的通项公式；(2)若13nnb，求数列na的前n项和nS.解(1)12ncn.(2)得13)12(nnnnncba.先写出nS的表达式：13213)12(37353311nnnS①把此式两边都乘以公比3，得nnnnnS3)12(3)32(35333131321②①-②，得nnnnS3)12(32323232121321③13)12()3232323232(213210nnnnS④完美格式整理版学习好帮手由等比数列的前n项和公式，得13)12(132nnnnS23)22(13)12(132nnnnnnS⑤13)1(nnnS因为此解答确实步骤多，且有三步容易出错：(1)等式③右边前n项的符号都是“+”，但最后一项是“—”；(2)当等式③右边的前n项不组成等比数列时，须把第一项作微调，变成等比数列(即等式④)，这增加了难度；(3)等式⑤中最后一步的变形(即合并)有难度.但这种方法(即错位相减法)又是基本方法且程序法，所以备受命题专家的青睐，在高考试卷中频频出现就不足为怪了.考生在复习备考中，应彻底弄清、完全掌握，争取拿到满分.这里笔者再给出一个小技巧——检验：算得了nS的表达式后，一定要抽出万忙的时间检验一下21,SS是否正确，若它们均正确，一般来说就可以确定算对了，否则就算错了，需要检查(重点是检查容易出错的三点)或重算.对于本题，已经算出了13)1(nnnS，所以10,121SS.而由通项公式可知1033,1111121SSS，所以求出的答案正确.高考题12(2014年高考课标全国卷I文科第17题)已知na是递增的等差数列，42,aa是方程2560xx的根.(1)求na的通项公式；(2)求数列2nna的前n项和.答案：(1)121nan.(2)用错位相减法可求得答案为1242nn.高考题13(2014年高考安徽卷文科第18题)数列{}na满足111,(1)(1),nnananannnN*.(1)证明：数列nan是等差数列；(2)设3nnnba，求数列{}nb的前n项和nS.答案：(1)略.完美格式整理版学习好帮手(2)由(1)可求得2nan，所以3nnbn，再用错位相减法可求得433)12(1nnnS.高考题14(2014年高考四川卷文科第19题)设等差数列{}na的公差为d，点(,)nnab在函数()2xfx的图象上(nN*).(1)证明：数列{}nb为等比数列；(2)若11a，函数()fx的图象在点22(,)ab处的切线在x轴上的截距为12ln2，求数列2{}nnab的前n项和nS.答案：(1)略.(2)可求得,2nnnanb，所以24nnnabn，再用错位相减法可求得944)13(1nnnS.高考题15(2014年高考四川卷理科第19题)设等差数列{}na的公差为d，点(,)nnab在函数()2xfx的图象上(nN*).(1)若12a，点87(,4)ab在函数()fx的图象上，求数列{}na的前n项和nS；(2)若11a，函数()fx的图象在点22(,)ab处的切线在x轴上的截距为12ln2，求数列nnab的前n项和nT.答案：(1)2=3nSnn.(2)可求得,2nnnanb，所以2nnnanb，再用错位相减法可求得答案为nnnT222.6待定系数法例11数列}3)12{(