西安交通大学电介质物理姚熹、张良莹课后习题答案第一章

1第一章静电场中的电介质1-1半径为a的球带电量为q，电荷密度正比于距球心的居里。求空间的电位和电场分布。解：由题意可知，可设kr再由于qdv，代入可以求出常数k即424kakrdrr所以4aqkraq4当ar.时由高斯定理可知024qrE；204rqErrqdrEU04当ar0时由高斯定理可知40420400024114aqrdrrraqdvrErr4024aqrEdrrqrdraqrdrEUarar20240244aqraaq033404)(12)4(123340raaq1-2电量为q的8个点电荷分别位于边长为a的立方体的各顶角。求其对以下各点的电距：（1）立方体中心；（2）某一面的中心；（3）某一顶角；2（4）某一棱的中点。若8个点电荷中4个为正电荷、4个为负电荷，重新计算上述问题解：由电矩的定义iiiiiirqrq（一）八个电荷均为正电荷的情形（1）立方体的在中心：八个顶点相对于立方体中心的矢量和为810iir，故0iiirq（2）某一面心：该面的四个顶点到此面心的矢量和410iir，对面的四个顶点到此点的矢量和854iiar故qa4；（3）某一顶角：其余的七个顶点到此顶点的矢量和为：7534iiar故qa34；（4）某一棱的中心；八个顶点到此点的矢量和为7524iiar故qa24；（二）八个电荷中有四个正电荷和四个负电荷的情形与此类似；1-3设正、负电荷q分别位于（0，0，l/2）、（0，0，－l/2），如图所示。求场点P处电势计算的近似表达式，试计算在场点（0，0，l23），（0，0，l25）处电势的近似值，并与实际值比较解：P点的电势可以表示为：==)11(40rrq3其中2coslrr,2coslrr204cosrql取场点分别为P1(0,0,l23)P2(0,0,l25)则对于P1点来说lr,lr21=lqllq008)211(4对于P2来说lrlr3,22=)3121(40llq=lq024多极展开项去前两项=)]2cos32cos5(cos2cos2[3432rrqrrq其中cos,0=1，2lr把P1(r=23l)点和P2(r=25l)点代入上式可得)81494(4101lqlq=lq8110)6254254(4102lqlq=lq62526比较可得P1点，实际值lqlq0081108近似值P2点，实际值lqlq006252624近似值1-4分别绘出电偶极子、电四极子和电八极子的图形，并给出其相应的电偶4极子强度，电四极子强度，电八极子强度。解：参考课本P21图1-10偶极子强度ql;四极子强度21lql;八极子强度321llql1-5试证明位于（0，0，l）的点偶极子（方向沿Z轴）在场点的r的展开式为),(r=)(cos41100Pnrlnnnn解：点电荷的多极展开式为)(r=[)21cos23(cos2322rzqrzqrq+......]对于正电荷+q来说z=l3/2=[)21cos23()2/3(cos)2/3(2322rlqrlqrq+......]对于负电荷-q来说z=l/2=[)21cos23()2/(cos)2/(2322rlqrlqrq+......]=)21cos23(2cos[42320rlrlq+......]=)21cos23(2cos1[4230rlr+......]=)21cos23(2)(cos0[422121211111010100PrlPrlPrl+...]=)(cos41100Pnrlnnnn证毕1-6（1）试证明电偶极子（＝ql）在电场E中的转矩M势能W分别为：5EM；W=-E（2）指出偶极子在电场中的平衡位置、稳态平衡位置。（3）当和E的夹角从1变到2时，求电场力所做的功和偶极子的势能变化。解（1）转矩frfrM=)(qErqEr=2qEr=qEl=E势能W=-qq=-qlE=-E（2）M=0,=0,平衡位置=0,W=-E能量最低，稳态平衡=,W=E能量最大，不稳定（3）电场力做功，是减少因此d为负A=12sindEMd)cos(cos12E势能变化△W=W2-W1=)cos(cos21E因此：保守力做功等于势能增量的负值A=-△W1-7两个电偶极子1、2相距R，讨论两偶极子间的相互作用能。解：先假定两个偶极子均与R成角，其他情形与此类似W=-121E=1▽12偶极子2在1处的电势为12=3024RR▽12=5023024)(34RRRR6W=1▽12=]))((3[415213210RRRR=]cos)cos(32cos[433021RR=)2coscos3(423021R=)cos1(423021R1-8什么是电介质的极化？介质极化是由哪些因素决定的？答案略1-9什么叫退极化场？试用极化强度P来表示一个介电常数的为r的平板介质电容器的退极化场，宏观平均电场和极板上的重点电荷电场。解：极化电荷形成的电场来削弱自由电荷建立的电场为退极化电场0/pEPPEEE0=)1(0rP0E)1(0rP-PE=)1(0rrP1-10在均匀电场0E中放一个半径为a的导体球，求球的感应电荷在远场处的电势及球内的电势、电场。由此证明导体球的引入，对于远场来言相当于引入了一个电偶极子。并求出导体球的极化率。解：导体球外▽2=0ra)(cos)(10nnnnnnPrBrA边界条件为：（1）由于导体球为一个等势体因此r=a=0（2）r=cos0rE7有A1=-E0An=0(n1)代入边界条件可知：B0=a0Bn0(n1,0)-E0a+B1/a=0因此B1=30aE所以coscos23000raErEra如果导体球接地则00从而有coscos2300raErE所以极化电荷产生的电势，电场为cos230raEPPE=-▽Pcos2330raErErPsin0EEP导体球的偶极矩为：0304Ea导体球的极化率为：304a1-11试证明在电场0E中引入一偶极矩为0的分子，则该分子具有的极化势能为200021EEW，其中为分子的极化率。解：假定分子固有偶极矩0沿分子长轴取向分子在电场0E感生偶极矩的长轴和短轴方向上的分量分别为cos01111EEsin02222EE其中21EEE21=2211EEEsincos21=（2221sincos）0E=（△22cos）0E8分子的势能为固有偶极矩势能（-00E）和感生偶极矩（-021EE）之和EEW21001-12H2O分子可以看成是半径为R的2O离子与两个质子（H）组成，如图所示，其中Rl，H2OH间夹角为2，试证明分子偶极矩值为=)1(cos233lRel解：分子的固有偶极矩为：cos20el由于O2-受到H++H+的作用，使之发生位移极化,使O2-的正负电荷中心发生位移为x原子核的库仑吸引力F=-xReRxq3023024442H+产生的电场力为：2024cos4leF由于F=F所以233coslRx此时的分子偶极矩为：=)1(cos2)cos(233lRelxle感生偶极矩为eeeE由于204cos2leEe，304Re所以23cos2leRe总的偶极矩为=0+e1-13在无限大电介质（1）中有均匀电场0E，若在该介质中有一半径为a、介电常数为2介质球，求球内外的电势、电场及介质球内电偶极矩。讨论9介质球带来的影响，并将结果推广到：（1）1＝1（2）2＝1解：由题意可解得：cos)12(03321121rEracos2302112rE1E-▽1cos2)(2cos033121201EraEErsin2sin033211201EraEE2E-▽2=021123E（1）当11时；空腔球cos)121(033221rEracos23022rE032201214Ea（2）当12时；cos)1221(033111rEracos1230112rE0311021214Ea1-14（1）求沿轴向均匀极化的介质棒中点的退极化场，已知细棒的截面积为10S，长度为l，极化强度为P，如图（a）所示。（2）一无限大的电介质平板，其极化强度为P，方向垂直于平板面。求板中点O处的退极化场。已知板厚为d，如图（b）所示。（3）求均匀极化的电介质球在球心的产生的退极化场。已知球半径为r，极化强度为P，如图（c）所示。（4）从（1）、（2）、（3）的计算结果，可以给出什么样的结论（电介质地退极化场的大小与电介质的纵、横线度的关系）？解（a）有题意可知：q=s=Ps重点处的场强为：2020202)2(4)2(4lpslqlqEP由于存在,2sl因此0PE（b）由于P所以：00PEP(c)cosPddrdssin2dddsqdsincosPr2ddPrqdpEdsincos441020ddPpEdpzEdsincos4cos200020203sincos4PddPEpz可见沿着极化方向，纵向尺度越大，横向尺度越小，退极化电场越弱；反之，纵向尺度越小，横向尺度越大，退极化电场越强。1-15试证明，昂沙格有效电场也适用于非极性介质，即昂沙格有效电场概括了11洛伦兹有效电场。解：对于非极性电介质来说有00即eeeeEE0eerrrreEngEagEE12)1(2312)1(2410030（由于，13430an）再由于EPEnree)1(00所以：EEEErrrrre32)12(3)1(21232这是昂沙格有效电场等于洛仑兹有效电场。证毕1-16为什么说克－莫方程师表征介质宏、微观参数的关系式。由该方程可以看出，随材料密度的提高，r将如何变化。并给出克－莫佯谬；即当密度到一定值时；密度再提高时0。并论证这在实际情况中使不可能的。解：有克-莫方程00321nrr其中0,r是宏观参数，,0n为电介质微观粒子极化性质的微观极化参数；故称克-莫方程为介质宏微观参数的关系式；由摩尔极化表征：00321NMrrMNrr00321由此式可得，当介质密度升高到，1300MN，则有r当介质密度升高到，MN0031，则有r012对于电介质来说显然r不可能为无穷大和为负值.1-17已知CO2在T＝300K时，00