信号的采样与恢复、采样定理的仿真

山东建筑大学课程设计说明书题目：信号的采样与恢复、采样定理的仿真课程：数字信号处理课程设计院（部）：信息与电气工程学院专业：通信工程班级：学生姓名：学号：指导教师：魏莉完成日期：2017年1月山东建筑大学信电学院课程设计说明书-1-目录目录.............................................................-0-摘要.............................................................-2-1、设计目的与要求.................................................-3-2、设计原理.......................................................-3-3、设计内容与步骤.................................................-4-3.1用MATLAB产生连续信号及其对应的频谱...........................-4-3.2对连续信号进行抽样并产生其频谱................................-5-3.3通过低通滤波恢复原连续信号....................................-8-4、总结..........................................................-13-5、致谢..........................................................-14-6、参考文献......................................................-15-山东建筑大学信电学院课程设计说明书-2-摘要运用数字信号处理知识实现对信号的采样、恢复以及采样定理的仿真，可借助于MATLAB强大的运算和图形显示功能，首先生成一个连续时间信号并生成其频谱，然后对该连续信号抽样，并对采样后的频谱进行分析，最后通过设计低通滤波器滤出抽样所得频谱中多个周期中的一个周期频谱，并显示恢复后的时域连续信号。在MATLAB中连续信号的频谱由于无法实现真正的连续，所以通过对信号扩大采样点数的方法实现近似连续，取样过程中，通过控制采样频率实现大于或小于二倍连续信号的最高频率，依此来验证采样定理。信号恢复时，滤波器的参数需要很好的设置，以实现将抽样后的信号进行滤波恢复原连续信号。山东建筑大学信电学院课程设计说明书-3-1、设计目的与要求1.掌握利用MATLAB在数字信号处理中的基本应用，并会对结果用所学知识进行分析。2.对连续信号进行采样，在满足采样定理和不满足采用定理两种情况下对连续信号和采样信号进行FFT频谱分析。3.从采样信号中恢复原信号，对不同采样频率下的恢复信号进行比较分析。4.基本要求：每组一台电脑，电脑安装MATLAB6.5版本以上软件。2、设计原理将连续信号采样并进行频谱分析，其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率fs，重复出现一次。为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理。时域采样定理从采样信号恢复原信号必需满足两个条件：(1)必须是带限信号，其频谱函数在＞各处为零；（对信号的要求，即只有带限信号才能适用采样定理。）(2)取样频率不能过低，必须满足＞2。（对取样频率的要求，即取样频率要足够大，采得的样值要足够多，才能恢复原信号。）如果采样频率大于或等于，即（为连续信号的有限频谱），则采样离散信号能无失真地恢复到原来的连续信号。综合以上，得采样定理：（1）对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱一采样频率为周期进行周期延拓得到的；（2）设连续信号是带限信号，如果采样角频率大于等于2倍的最高截止频率，则采样信号通过理想低通滤波器可唯一恢复出原连续信号，否则会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可无失真的恢复原连续信号。以采样定理为依据设计本次实验，产生一个连续时间信号，并进行频谱分析，根据采样定理要求对所产生的连续时间信号进行采样和频谱分析，并将此频谱与连续信号的频谱进行比较。验证采样定理，改变采样频率，重复以上过程。设计低通滤波器，恢复原连续信号。山东建筑大学信电学院课程设计说明书-4-3、设计内容与步骤3.1用MATLAB产生连续信号及其对应的频谱生成一个频率为200的连续信号。MATLAB程序源代码如下：f1=200;t=(1:100)/3000;w=linspace(0,100,length(t));x1=sin(2*pi*f1*t);n=0:(length(x1)-1);figure(1);subplot(2,1,1);plot(x1,'k');gridon;axis([0100-1.21.2]);%横纵坐标的范围line([0,100],[0,0]);%画横坐标轴线xlabel('t');ylabel('x1(t)');title('连续信号');subplot(2,1,2);plot(w,abs(fft1(t,x1,n)),'k');%其对应频域信号xlabel('w');ylabel('x(w)');title('其对应频域信号');gridon;结果如下：0102030405060708090100-1-0.500.51t/2500x1(t)连续信号01020304050607080901000204060wx(w)其对应频域信号图3.1.1山东建筑大学信电学院课程设计说明书-5-在对其进行频谱分析的时候，需要调用以下子函数fft1：functionresult=fft1(w,hanshu,n)fori=1:length(w);m=hanshu.*((exp(-1i*(i-1)*pi/100)).^n);a{i}=sum(m);endfori=1:length(w)result(i)=a{i};end虽然运用FFT函数也可以对信号进行频谱分析，但只能看到一个周期的频谱，无法分析抽样后的信号频谱是否是原信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓形成的，也无法观测是否出现频谱混叠。所以直接运用离散傅里叶变换的公式来定义子函数fft1，方便后续采样及恢复步骤中的频谱分析过程。3.2对连续信号进行抽样并产生其频谱首先要以不同的城阳频率fs对连续信号进行抽样，然后调用3.1中的子函数fft1产生其频谱。源代码如下；n=1:100;fs=60;T=1/fs;f1=200;t=(1:100)/3000;w=1:200;x1n=sin(2*pi*f1*n*T);X1=fft1(w,x1n,n)M=length(X1);k=0:M-1;wk=2*k/M;%产生M点DFT对应的采样点频率(关于π归一化值)figure(2);subplot(2,1,1);stem(n,x1n,'.','k');gridon;axis([0102-1.21.2]);xlabel('n');ylabel('x1(n)');title('(e)采样后x1(n）的波形');figure(2);subplot(2,1,2);plot(wk,abs(X1),'k');axis([01.1056]);line([0,1.1],[0,0])gridon;xlabel('ω/π');ylabel('幅度');title('(f)FT[x1(n)]的幅频特性图');不同采样频率所产生的采样信号以及频谱如下：当采样频率fs=45时：山东建筑大学信电学院课程设计说明书-6-0102030405060708090100-1-0.500.51nx1(n)(e)采样后x1(n）的波形00.20.40.60.8102040ω/π幅度(f)FT[x1(n)]的幅频特性图图3.2.1采样频率fs=330时：0102030405060708090100-1-0.500.51nx1(n)(e)采样后x1(n）的波形00.20.40.60.8102040ω/π幅度(f)FT[x1(n)]的幅频特性图图3.2.2山东建筑大学信电学院课程设计说明书-7-采样频率fs=1700时：0102030405060708090100-1-0.500.51nx1(n)(e)采样后x1(n）的波形00.20.40.60.8102040ω/π幅度(f)FT[x1(n)]的幅频特性图图3.2.3采样频率fs=2300时：0102030405060708090100-1-0.500.51nx1(n)(e)采样后x1(n）的波形00.20.40.60.8102040ω/π幅度(f)FT[x1(n)]的幅频特性图图3.2.4山东建筑大学信电学院课程设计说明书-8-由抽样定理可知，抽样后的信号频谱是原信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓形成的，图3.2.1和图3.2.2的频谱出现了明显的频谱混叠而并非原信号频谱的周期延拓。这是因为采样频率没有满足＞2的条件，因此经周期延拓出现了频谱混叠。图3.2.3和图3.2.4的采样频率＞＞2，因此其抽样信号的频谱是原信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓，没有发生混叠现象。3.3通过低通滤波恢复原连续信号要恢复原连续信号，通过设计低通滤波器滤出抽样所得频谱中多个周期中的一个周期频谱，才可以恢复原时域连续信号。由原连续信号和采样频率可以得到巴特沃斯滤波器的参数。MATLAB源程序如下：wp=0.1;ws=0.7;Rp=2;As=30;[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As);[B,A]=butter(N,wc);[H,w]=freqz(B,A,512,1000);figure;plot(w*1000/(2*pi),abs(H));xlabel('Hz');ylabel('频率响应幅度');title('低通滤波器');grid;滤波器图像如图3.3.1012345678x10400.10.20.30.40.50.60.70.80.91Hz频率响应幅度低通滤波器图3.3.1山东建筑大学信电学院课程设计说明书-9-通过filter函数将不同采样频率的采样信号恢复为原连续信号，源程序如下：n=1:100;fs=45;T=1/fs;f1=200;t=(1:100)/1000;x1n=sin(2*pi*f1*n*T);y=filter(B,A,x1n);subplot(2,1,1);plot(y,'k');%恢复后的连续信号xlabel('t');ylabel('x(t)');title('恢复后的连续信号y=sin(t)');grid;Y=fft(y,512);w=(0:255)/256*500;subplot(2,1,2);plot(w,abs([Y(1:256)]),'k');%绘制频谱图xlabel('Hz');ylabel('频率响应幅度');title('频谱图');grid;采样频率fs=45时：0102030405060708090100-0.0200.020.04tx(t)恢复后的连续信号y=sin(t)05010015020025030035040045050000.050.10.150.2Hz频率响应幅度频谱图图3.3.2山东建筑大学信电学院课程设计说明书-10-采样频率fs=330时：0102030405060708090100-0.1-0.0500.050.1tx(t)恢复后的连续信号y=sin(t)05010015020025030035040045050000.20.40.60.8Hz频率响应幅度频谱图图3.3.3采样频率fs=1700时：0102030405060708090100-1-0.500.51tx(t)恢复后的连续信号y=sin(t)050100150200250300350400450500010203040Hz频率响应幅度频谱图图3.3.4山东建筑大学信电学院课