高考数学模拟试卷(新课标)分章精编---空间向量与立体几何

高考数学模拟试卷（新课标）分章精编《空间向量与立体几何》一、选择题1.三棱锥D—ABC的三个侧面分别与底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，则二面角A—BC—D的大小为DA．300B．450C．600D．9002.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线BD将△ABD折起，使A点在平面BCD内的射影落在BC边上，若二面角C—AB—D的平面角大小为θ，则sin的值等于(A)A．43B．47C．773D．343.如图，已知平面平面，A、B是平面与平面的交线上的两个定点，,DACB，且DA，CB，4AD，8BC，6AB，在平面内有一个动点P，使得APDBPC，则PAB的面积的最大值是（C）A．24B．32C．12D．484.如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中,2BAC,AB=AC=A1A=1,已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）。若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是（A）A.[51，1)B.[51,2)C.[1,2)D.[51，2)第2题第3题第4题5.如图，在三棱锥ABCP中，PA⊥底面ABC，∠ACB=90，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F,若2ABPA，∠BPC=，则当AEF的面积最大时，tan的值为(D)A．2B21C．2D．226.如图S为正三角形ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC＝AB，E、F分别为SC、AB中点，则异面直线EF与SA所成角为(C)A．90ºB．60ºC．45ºD．30ºACDB(A)OOBADC7.如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧面A1ABB1⊥BC，且A1Ｃ与底面成45°角，AB=BC=2，则该棱柱体积的最小值为(Ｃ)A．34B．33C．４Ｄ．3第5题第6题第7题8.正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成的角为60，则该棱锥的体积为（B）A、3B、6C、9D、189.如图,正方体1111DCBAABCD的棱长为4,FE,分别是棱CD、11DC的中点,长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动,另一个端点N在底面1111DCBA上运动,则线段MN的中点P的轨迹(曲面)与二面角111BDCD所围成的几何体的体积为(D)A．34B.32C.6D.310.已知一个平面与正方体的12条棱所成的角都等于sin,则的值为（C）A．21B．22C．33D．46二、填空题1.在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则222111hab，由此类比：三棱锥S-ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面上的高为h，则22221111habc。2.如图,设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直，且FEPCBABDA1B1EC1CAFD1NMP••••••6,2ABACAD，则AD两点间的球面距离23.3.已知体积为3的正三棱锥VABC的外接球的球心为Ｏ，满足0OAOBOC,则三棱锥外接球的体积为＿＿＿＿163．4.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E为A1B1的中点，则下列五个命题：①点E到平面ABC1D1的距离为；21②直线BC与平面ABC1D1所成的角等于45；③空间四边形ABCD1在正方体六个面内形成六个射影，其面积的最小值是；21④AE与DC1所成的角为10103arccos；⑤二面角A-BD1-C的大小为65．其中真命题是②③④．（写出所有真命题的序号）三、解答题1.如图，在四棱锥ABCDP中，底面为直角梯形，//,90ADBCBAD，PA垂直于底面ABCD，NMBCABADPA,,22分别为PBPC,的中点。(1)求证：DMPB；（2）求BD与平面ADMN所成的角；（3）求截面ADMN的面积。解：（1）证明：因为N是PB的中点，ABPA，所以PBAN。由PA底面ABCD，得PAAD，又90BAD，即BAAD，AD平面PAB，所以PBAD，PB平面ADMN，DMPB。ABCD1A1B1C1DE.ABCDA1B1C1D1P（2）连结DN，因为BP平面ADMN，即BN平面ADMN，所以BDN是BD与平面ADMN所成的角，在RtABD中，2222BDBAAD，在RtPAB中，2222PBPAAB，故122BNPB，在RtBDN中,21sinBDBNBDN，又BDN0，故BD与平面ADMN所成的角是6。（3）由,MN分别为PBPC,的中点，得//MNBC，且1122MNBC，又//ADBC，故//MNAD，由（1）得AD平面PAB，又AN平面PAB，故ADAN，四边形ADMN是直角梯形，在RtPAB中，2222PBPAAB，122ANPB，截面ADMN的面积11152()(2)22224SMNADAN。（1）以A点为坐标原点建立空间直角坐标系Axyz，如图所示（图略）由22BCABADPA，得(0,0,0)A，1(0,0,2),(2,0,0),(1,,1),(0,2,0)2PBMD因为3(2,0,2)(1,,1)2PBDM0，所以DMPB。（2）因为(2,0,2)(0,2,0)PBAD0所以PBAD，又DMPB，故PB平面ADMN，即(2,0,2)PB是平面ADMN的法向量。设BD与平面ADMN所成的角为，又(2,2,0)BD。则|||4|1sin|cos,|2||||4444BDPBBDPBBDPB，又[0,]2，故6，即BD与平面ADMN所成的角是6。因此BD与平面ADMN所成的角为6，2.如图，已知1111ABCDABCD是底面为正方形的长方体，1160ADA，14AD，点P是1AD上的动点．EPD1C1B1A1DCBAzyxPD1C1B1A1DCBA（1）试判断不论点P在1AD上的任何位置，是否都有平面11BPA垂直于平面11AADD并证明你的结论；（2）当P为1AD的中点时，求异面直线1AA与1BP所成角的余弦值；（3）求1PB与平面11AAD所成角的正切值的最大值．解：（1）不论点P在1AD上的任何位置，都有平面11BPA垂直于平面11AAD.证明如下：由题意知，1111BAAD，111BAAA又1111AAADA11BA平面11AAD又11AB平面11BPA平面11BPA平面11AAD．（2）解法一：过点P作11PEAD，垂足为E，连结1BE（如图），则1PEAA∥，1BPE是异面直线1AA与1BP所成的角．在11RtAAD△中∵1160ADA∴1130AAD∴11111122ABADAD,111112AEAD，2211115BEBAAE．又1132PEAA．在1RtBPE△中，15322BP1136cos422PEBPEBP．异面异面直线1AA与1BP所成角的余弦值为64．解法二：以1A为原点，11AB所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示，则1(000)A，，，(0023)A，，，1(200)B，，，(013)P，，，1(0023)AA，，，1(213)BP，，∴111111cos||||AABPAABPAABP，6642322．∴异面异面直线1AA与1BP所成角的余弦值为64．（3）由（1）知，11BA平面11AAD，11BPA是1PB与平面11AAD所成的角，且1111112tanBABPAAPAP．当1AP最小时，11tanBPA最大，这时11APAD，由111113ADAAAPAD得1123tan3BPA，即1PB与平面11AAD所成角的正切值的最大值233．3.如图，直角梯形ABCE中，aCEBCABBCDABC21,90，D是CE的中点，点M和点N在ADE绕AD向上翻折的过程中，分别以的速度，同时从点A和点B沿AE和BD各自匀速行进，t为行进时间，0at2。（1）求直线AE与平面CDE所成的角；（2）求证：MN//平面CDE。解：（1）因,ADEDADCD，所以AD⊥平面CDE，ED是AE在平面CDE上的射影，∠AED=450，所以直线AE与平面CDE所成的角为450（2）解法一：如图，取AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系A—xyz.则(0,,0)ADa设112222(,,),(,,)22MxtyNxty，得2121(,0,)MNxxyy由0ADMN，得MNAD，而AD是平面CDE的一个法向量，且MN平面CDE，所以MN//平面CDE解法二：设在翻转过程中，点M到平面CDE的距离为1d，点N到平面CDE的距离为2d，则12(2)cos42datat，同理ZYXMEBCDAN222(2)22datat所以12dd，故MN//平面CDE解法三：如图，过M作MQ//AD交ED于点Q，过N作NP//AD交CD于点P，连接MN和PQ设⊿ADE向上翻折的时间为t，则AMt，(02)BNtta因12ABBCCEa，点D是CE的中点，得ABBCCDDEa，四边形ABCD为正方形，⊿ADE为等腰三角形.2,2MEatDNat在Rt⊿EMQ和Rt⊿DNP中，ME=ND，∠MEQ=∠NDP=450，所以Rt⊿EMQ≌Rt⊿DNP，所以MQ//NP且MQ=NP，的四边形MNPQ为平行四边形，所以MN//PQ，因MN平面CDE，PQ平面CDE，所以MN//平面CDE4.如图，在三棱锥P-ABC中，PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分别是BC、AC的中点，F为PC上的一点，且PF:FC=3:1．（Ⅰ）求证：PA⊥BC；（Ⅱ）试在PC上确定一点G，使平面ABG∥平面DEF；（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的情况下，求二面角G-AB-C的平面角的正切值．解：(Ⅰ)在△PAC中，∵PA=3，AC=4，PC=5，∴222PCACPA，∴ACPA；又AB=4，PB=5，∴在△PAB中，同理可得ABPA∵AABAC，∴ABCPA平面∵BC平面ABC，∴PA⊥BC.(Ⅱ)如图所示取PC的中点G，连结AG，BG，∵PF:FC=3:1,∴F为GC的中点又D、E分别为BC、AC的中点，∴AG∥EF，BG∥FD，又AG∩GB=G，EF∩FD=F∴面ABG∥面DEF即PC上的中点G为所求的点(Ⅲ)由(Ⅱ)知G这PC的中点，连结GE，∴GE⊥平面ABC，过E作EH⊥AB于H，连结GH，则GH⊥AB，∴∠EHG为二面角G-AB-C的平面角∵839521ABCABESS又EHABSABE21BC据主视BFCADBOE∴16395443952ABSEHABE又2321PAGE∴653983951623tanEHEGEHG∴二面角G-AB-C的平面角的正切值为653985.如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2,2.CACBCDBDABAD（I）求证：AO平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦；（III）求点E到平面ACD的距离．方法一：（I）证明：连结OC,,.BODOABADAOBD,,.BODOBCCDCOBD在AOC中，由已知可得1,3.AOCO而2,AC222,AOCOAC90,oAOC即.AOOC又,AOBDBDOCO，AO平面BCD（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角。在OME中，121,1,222EMABOEDC