线性代数完美总结版

《线性代数及其应用》一、行列式1、余子式，代数余子式2、几个定理(定理2.2，2.3，2.4)按行展开：1122,1,2,,AiiiiininaAaAaAin按列展开：1122,1,2,,AjjjjnjnjaAaAaAjn定理2.411220,ijijinjnaAaAaAij；11220,ijijninjaAaAaAij.3、行列式的性质(1)T||||AA.(2)若行列式的某一列(行)可以拆成两列(行)之和，则行列式可以拆成两个行列式之和，即111,,,,,,,,,,,,jjnjnjn.(2)若行列式有两列(行)成比例，则行列式等于零.(3)初等变换性质1;;.iiijjiijijkk+l+lk或或或rcrrccrrccABABABABABAB4、行列式计算：三角化法(性质)；降阶法(性质+展开定理)；范德蒙德、三对角行列式的结论.5、分块矩阵的行列式AOACAOABOBOBDB(1)OACAOAABBOBOBDmmnn二、矩阵1、矩阵及其运算(加法、数乘、乘法、幂、转置、方阵的行列式、分块运算)(1)乘法的结合律(2)方阵的幂的求解3.75.9二项式定理--例矩阵列行--例3.8、例3.38可对角化例(3)转置的性质：TTTTTTTTTT()()()()AAABABAAABBAkk(4)方阵的行列式：T||||;|||;||||||.n|kkAAAAABAB(5)分块运算(转置、乘法--例3.13、3.14)2、初等变换及初等矩阵(1)左行右列(矩阵的初等变换可用矩阵乘法来表示)[()];[()];[];[()];[()];[].rrrrrcccccABEABABEABABEABACAECACAECACAEC初等行变换初等列变换iijijijiijkm+lmmkn+lnnikijli,jikijli,j(2)初等矩阵都是可逆的，且初等矩阵的逆仍是初等矩阵，即1111()();()();,,.EEEEEEkikiijlijlijij3、可逆矩阵(1)定义、性质1111T11T111111()()()()AAAAAAAAABBA||||()kk(2)伴随矩阵1||||||()()()nrrAAAAAEAAAA与的关系书111页38题(3)判定：A可逆||0A(4)逆矩阵的求法11(3.7),,行伴随矩阵法:及运算律命题初等变换法:AAAABEAEEA(5)分块矩阵的逆111111,.AOOAAOOBOBBOOBAO(6)矩阵方程的求解：AXC，其中A可逆.法11XAC.法21[,][,]ACEXXAC初等行变换n.4、矩阵的秩与矩阵的相抵(1)矩阵的秩与性质(101页，105-107页)①0()min{,}rmnA；②子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩；③()(),0;rkrkAA④T()()rrAA；⑤()()rrrAOABOB；⑥()()()rrrABAB；⑦()()()()(ABABArrnrr或())Br；若ABO，则()()r+rnAB，其中mnPA，nsPB.⑧设mnRA，则TT()()().rr=rAAAAA(2)求矩阵的秩(理论依据：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩)AR初等变换(行阶梯形矩阵)，则()()rrARR的非零行的个数.(3)矩阵的相抵(等价)①()(),,.ABABPQPAQB可逆使得rr②()()()()rrrrPAQPAAQA，其中,PQ可逆.③()rrrEOAPAQOO或rEOAPQOO.三、线性空间1、向量组的线性相关性的判断(命题4.2、4.3、4.4、4.5、定理4.1、4.2、4.4)(1)证明方法------,,--定义转化为齐次线性方程组的求解秩矩阵、向量组的秩(定理4.1定理4.4命题4.5-4.6)坐标化方法定理4.14基本结论(2)基本结论判断向量组线性相关（命题4.2，命题4.3(2),定理4.1及推论1，定理4.2）充要：12,,,s线性相关其中至少有一个向量可由其余向量线性表示.充分：12,,,s线性相关12,,,sss某一个部分向量组线性相关向量的个数大于向量分量的个数被个数少于的向量组线性表示判断向量组线性无关（命题4.3(3)，命题4.4的推论）2、等价向量组(1)(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，则r(Ⅰ)r(Ⅱ).(2)(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，则r(Ⅰ)r(Ⅱ).3、子空间的验证(1)非空、加法和数量乘法的封闭；(2)命题4.1(生成子空间)--例4.9，例4.354、向量组的秩及极大无关组(命题4.6，定理4.4及推论2)、(线性)子空间的基与维数(1)写成列向量作初等行变换，确定向量组的秩与极大无关组.(2)对于12(,,,)sWL，则12dim(,,,)sWr，即生成子空间的维数与基就是向量组12,,,s的秩与极大无关组.5、坐标的概念、基变换公式与坐标变换公式坐标：1122nnxxx在基12,,,n下的坐标T12,,,nxxx.基变换公式：1212(,,,)(,,,)nnS坐标变换公式：12121212(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)nnnnSXXSYY或1YSX四、线性方程组(含参量、不含参量)1、解的情况(1)()(),,()(),rrnrrnAAAXAA无解唯一解无穷多解若A是方阵，则0,()(),0()(),rrrr唯一解无穷多解无解AAXAAAAA(2)齐次线性方程组0AX有非零解()rnA.若A是方阵，则齐次线性方程组0AX有非零解0A.2、解的结构齐次0AX：(1)解空间N()A、dimN()()nrAA基础解系所含向量的个数(2)基础解系不唯一，()Anr的线性无关的解均可作为0AX的一个基础解系.(2)结构式：通解=基础解系的任意线性组合非齐次AX：(1)非-非=齐(2)结构式：通解=特解导出组0AX的通解五、线性变换1、线性变换的验证(定义5.4)2、线性变换在一个基下的矩阵(定义5.7)、命题5.812121212σ(,,,)(,,,)(,,,)σ()(,,,)nnnnAXYAXY3、线性变换在不同基下的矩阵之间的关系(相似)定理5.91212112121212σ(,,,)(,,,)σ(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)nnnnnnABBSASS六、内积空间nR1、内积的概念、长度、正交(正交向量组必线性无关)2、施密特正交化3、正交矩阵(1)定义、性质；(2)n阶实矩阵A是正交矩阵的充要条件是A的列(行)向量组是nR的一个标准正交基.(命题6.2)七、矩阵的相似对角形1、特征值和特征向量的定义、性质(1)1212tr();nnAA；(2)A与TA具有相同的特征值(特征向量未必相同)；(3)已知(A可逆)矩阵AAkAm)(Af1AA特征值km)(f1||1A特征向量XXXXXX()()(())AAfWWf；11()()AAWW.(4)属于不同特征值的特征向量线性无关(定理5.3、定理5.4及推论).2、相似矩阵的定义、性质(秩、行列式、迹、特征值相等，但特征向量未必相同)相似的判定：若A与B可对角化(实对称矩阵)，且A与B具有相同的特征值，则A与B相似.若A与B相似，则矩阵多项式()Af与()Bf也相似.3、矩阵的相似对角化A可对角化A有n个线性无关的特征向量数域P内有n个特征值，每一个特征值的几何重数等于代数重数(充分条件)A有n个互不相同的特征值A可对角化4、实对称矩阵(1)特征值：n阶实对称矩阵有n个实特征值.(2)特征向量：实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交.(3)实对称矩阵必正交相似于实对角矩阵(几何重数等于代数重数).(4)若A与B均为实对称矩阵，则A与B正交相似(相似)A与B具有相同的特征值.(正交相似既相似，又合同)八、二次型1、二次型的矩阵及秩(11Af(对称))2、矩阵的合同：合同必相抵；正交相似既相似，又合同实对称矩阵,AB合同,AB的正惯性指数与秩相同3、化二次型为标准形(不唯一)--正交替换法、配方法(满秩线性替换)4、惯性定理：实二次型的规范形唯一(正、负惯性指数，符号差)5、正定二次型(1)判定：①定义；②A的特征值都大于零(A的正惯性指数等于n)；③A与E合同(与正定矩阵A合同的实对称矩阵B正定)；④存在可逆矩阵S，使得TASS；⑤A的所有顺序主子式都大于零(2)必要条件：(i)0,1,2,,iiain；(ii)||0A