广州荔湾高考补习班新王牌轨迹方程求解方法-备战2016高考技巧大全之高中数学黄金解题模板(原卷版)

1【高考地位】求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的问题之一，是用代数方法研究几何问题的基础。这类题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融为一体。因而也是历年高考所要考查的重要内容之一。【方法点评】方法一直接法使用情景：可以直接列出等量关系式解题步骤：第一步根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。）第二步根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。例1已知定点BA,,且02＞ccAB，如果动点P到点A的距离与到点B的距离之比为定值0＞aa，求点P的轨迹方程，并说明方程表示的轨迹。【变式演练1】已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别为7和1.（1）求椭圆C的方程；（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上一点，OMOP,求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。例2设直线l垂直于x轴，且于椭圆2224xy交于,BA两点，P是l上满足PAPB的点，求点的轨迹方程。【变式演练2】已知定点6,0,2,0AB，O为原点，动点P与线段,AOBO所张的角相等，求动点P的轨迹方程。2方法二定义法使用情景：轨迹符合某一基本轨迹的定义解题步骤：第一步根据已知条件判断动点轨迹的条件符合哪个基本轨迹（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）第二步直接根据定义写出动点的轨迹方程。例1已知椭圆的焦点是PFF，，21是椭圆上的一个动点，如果延长QPF到1，使得2PFPQ那么动点Q的轨迹是（）A、圆B、椭圆C、双曲线的一支D、抛物线【变式演练1】已知点0,41F，直线41:xl，点B是直线l上动点，若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是（）A、双曲线B、抛物线C、椭圆D、圆例2已知动圆M与圆1C:2422yx外切，与圆24:222yxC内切，求动圆圆心M的轨迹方程。【变式演练2】已知021，A,B是圆421:22yxF（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程是。方法三相关点法（代入法）使用情景：动点依赖于已知曲线上的另一个动点运动解题步骤：第一步判断动点,Pxy随着已知曲线上的一个动点'',Qxy的运动而运动第二步求出关系式'',,,xfxyygxy第三步将Q点的坐标表达式代入已知曲线方程3例1定点03，A为圆122yx外一定点，P为圆上任一点，POA的平分线交PA于点Q的轨迹方程。【变式演练1】已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为0,3-F，且右顶点为02，D.设点A的坐标是211，。（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程。例2设0＞，点A的坐标为1,1，点B在抛物线2xy上运动，点Q满足QABQ,经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足MPQM,求点P的轨迹方程。【变式演练2】4101，，，BA,在平面上动点Q满足4QBQA,点P是点Q关于直线42xy的对称点，求动点P的轨迹方程。方法四参数法使用情景：动点的运动受另一个变量的制约时解题步骤：第一步引入参数，用此参数分别表示动点的横纵坐标,xy；第二步消去参数，得到关于,xy的方程，即为所求轨迹方程。例1、已知线段AB的长为a，P点分AB为12:：PBAP两部分，当A在y轴正半轴运动时，B在x轴正半轴上运动，求动点P的轨迹方法。【变式演练1】椭圆的准线垂直于x轴，离心率为12，并且经过点1,1,2,2AB。求椭圆中心的轨迹方程。例2过定点baA,任作互相垂直的两条直线21ll与，且1l与x轴交于M，2l与y轴交于N，求线段MN中点P的轨迹方程。[来源:学.科.网Z.X.X.K]4【变式演练2】过点1,0A，斜率为k的直线l与抛物线2:y4Cx交于,PQ两点。若曲线C的焦点F与,,PQR三点按如图所示的顺序构成平行四边形PFQR，求点R的轨迹方程。方法五交规法使用情景：涉及到两曲线的交点轨迹问题[来源:Zxxk.Com]解题步骤：第一步解两曲线方程组得到,xftygt第二步消去动曲线中的参数。例1、已知双曲线1222yx的左右顶点分别为21AA，，点2211,,,yxQyxP是双曲线上不同的两个动点，求直线QAPA21与交点的轨迹E的方程。【变式演练1】设抛物线022＞ppxy的准线为l，焦点为F，顶点为PO,为抛物线上任意一点，QlPQ于，求OPQF与的交点M的轨迹方程。【高考再现】1、【2015江苏高考，18】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆222210xyabab的离心率为22，且右焦点F到左准线l的距离为3.[来源:Zxxk.Com]（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.52、【2015高考湖北，理21】一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且1DNON，3MN．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动．．N绕O转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设动直线l与两定直线1:20lxy和2:20lxy分别交于,PQ两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：OQP的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．BADOMN3、【2015高考天津，文19】（本小题满分14分）已知椭圆22221(ab0)xyab+=的上顶点为B,左焦点为F,离心率为55,（I）求直线BF的斜率;（II）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B）,过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B）直线PQ与y轴交于点M,||=||PMMQl.（i）求l的值;（ii）若75||sin=9PMBQPÐ,求椭圆的方程.4、【2011年湖北高考理科第19题】（本小题满分13分）xDOMNy第21题图1第21题图26如图，在以点O为圆心，||4AB为直径的半圆ADB中，ODAB，P是半圆弧上一点，30POB，曲线C是满足||||||MAMB为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线xDOMNyPQ相交于不同的两点E、F.[来源:Zxxk.Com]若△OEF的面积不小于．．．22，求直线l斜率的取值范围.5、【2014高考湖北理第21题】在平面直角坐标系xOy中，点M到点1,0F的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C.（1）求轨迹为C的方程；（2）设斜率为k的直线l过定点2,1p，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围.【反馈练习】1、【河南省中原名校2015届高三上学期第一次摸底考试，理24】己知曲线21:1(0)Cyxy与x袖交于A，B两点，点P为x轴上方的一个动点，点P与A,B连线的斜率之积为-4(I)求动点P的轨迹2C的方程；(Il)过点B的直线l与1C，2C分别交于点M,Q（均异于点A，B），若以MQ为直径的圆经过点A，求AMQ的面积．2、【广东省韶关市十校2015届高三10月联考，理20】如图所示，已知圆MAyxC),0,1(,8)1(:22定点为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满NAMNPAPAM点,0,2的轨迹为曲线E.（I）求曲线E的方程；7（II）若过定点)2,0(F的直线交曲线E于不同的两点,GH（点G在点,FH之间），且满足FHFG，求的取值范围.3、【河北省唐山市第一中学2015届高三上学期期中考试，理20】已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2经过椭圆Γ∶)0(12222babyax(ab0)的右焦点F和上顶点B.(1)求椭圆Γ的方程；(2)如图，过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，求OQOM的最大值．[来源:学,科,网]4、【四川省遂宁市2015届高三第二次诊断考试数学理】已知定点(2,0)A，(1,0)F，定直线l：4x，动点P与点F的距离是它到直线l的距离的12.设点P的轨迹为C，过点F的直线交C于D、E两点，直线AD、AE与直线l分别相交于M、N两点.（1）求C的方程；（2）以MN为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.5.【2014——2015学年度上学期辽宁省丹东五校协作体高三期末考试理20】在平面直角坐标系xOy中，点B与点1,1A关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率．．之积等于13.（1）求动点P的轨迹方程；（2）设直线AP和BP分别与直线3x交于点,MN，问：是否存在点P使得PAB△与PMN△的面积8相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.6.(2015年3月德阳市四校高三联合测试数学理20)已知点F(1，0)，圆E:8)1(22yx，点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．(1)求动点Q的轨迹Γ的方程；(2)若直线l与圆O:122yx相切，并与(1)中轨迹Γ交于不同的两点A、B．当OBOA=，且满足4332时，求△AOB面积S的取值范围．7.【山东省文登市2015届高三第二次统考数学理】在ABC中，,AB的坐标分别是(2,0),(2,0)，点G是ABC的重心，y轴上一点M满足//GMAB，且||||MCMB．（1）求ABC的顶点C的轨迹E的方程；（2）直线:lykxm与轨迹E相交于,PQ两点，若在轨迹E上存在点R，使四边形OPRQ为平行四边形(其中O为坐标原点)，求m的取值范围．8.【天津南开中学2015届高三第四次月考数学理试题】已知抛物线242yx的焦点为椭圆22221xyab0ab的右焦点,且椭圆的长轴长为4，左右顶点分别为A，B.经过椭圆左焦点的直线l与椭圆交于C、D两点.（Ⅰ）求椭圆标准方程；（Ⅱ）记ABD与ABC的面积分别为1S和2S，且12||2SS，求直线l的方程；（Ⅲ）若1122,,,MxyNxy是椭圆上的两动点，且满足022121yyxx，动点P满足2OPOMON（其中O为坐标原点），求动点P的轨迹方程.