高考数学(理)大一轮复习精讲课件：第二章 函数、导数及其应用 第二节 函数的单调性与最值

第二节函数的单调性与最值基础盘查一函数的单调性(一)循纲忆知1．理解函数的单调性及其几何意义．2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．(二)小题查验1．判断正误(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性()(2)函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)f(3)()(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”()(4)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)()(5)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)()×√×××2．(人教A版教材习题改编)函数y＝x2－2x(x∈[2,4])的增区间为_____．[2,4]3．若函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则k的取值范围是____________．－∞，－12基础盘查二函数的最值(一)循纲忆知1．理解函数最大值、最小值及其几何意义．2．会运用函数图象理解和研究函数的最值．(二)小题查验1．判断正误(1)所有的单调函数都有最值()(2)函数y＝1x在[1,3]上的最小值为13()2．(人教A版教材例题改编)已知函数f(x)＝2x－1(x∈[2,6])，则函数的最大值为___．×√2考点一函数单调性的判断(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．定义法设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1x2，则有：(1)f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)f(x2)；(2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)f(x2)．2．导数法在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递减．[题组练透]1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是()A．f(x)＝3－xB．f(x)＝x2－3xC．f(x)＝－1x＋1D．f(x)＝－|x|解析：当x0时，f(x)＝3－x为减函数；当x∈0，32时，f(x)＝x2－3x为减函数，当x∈32，＋∞时，f(x)＝x2－3x为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－1x＋1为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．故选C.答案：C2．讨论函数f(x)＝axx2－1(a＞0)在x∈(－1,1)上的单调性．解：设－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝ax1x21－1－ax2x22－1＝ax1x22－ax1－ax2x21＋ax2x21－1x22－1＝ax2－x1x1x2＋1x21－1x22－1.∵－1＜x1＜x2＜1，a0，∴x2－x1＞0，x1x2＋1＞0，(x21－1)(x22－1)＞0.∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)f(x)2，故函数f(x)在(－1,1)上为减函数．[类题通法]对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．(2)可导函数则可以利用导数判断．但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断．考点二求函数的单调区间(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．[典题例析]求下列函数的单调区间：(1)y＝－x2＋2|x|＋1；(2)y＝log12(x2－3x＋2)．解：(1)由于y＝－x2＋2x＋1，x≥0，－x2－2x＋1，x＜0，即y＝－x－12＋2，x≥0，－x＋12＋2，x＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作y＝log12u与u＝x2－3x＋2的复合函数．令u＝x2－3x＋2＞0，则x＜1或x＞2.∴函数y＝log12(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝32，且开口向上．∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y＝log12u在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y＝log12(x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．[类题通法]求函数的单调区间与确定单调性的方法一致(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．[提醒]单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．[演练冲关]1．若将典例(1)中的函数变为“y＝|－x2＋2x＋1|”，则结论如何？解：函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为(1－2，1)和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2)和(1,1＋2)．2．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k，定义函数fk(x)＝fx，fx≤k，k，fx＞k，取函数f(x)＝2－|x|.当k＝12时，求函数fk(x)的单调递增区间．解：由f(x)12，得－1x1.由f(x)≤12，得x≤－1或x≥1.所以f12(x)＝2－x，x≥1，12，－1＜x＜1，2x，x≤－1.故f12(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．考点三函数单调性的应用(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]函数的最值(1)函数最大(小)值的几何意义：函数的最大值对应图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应图象最低点的纵坐标．(2)利用函数单调性求最值的常用结论：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最大值f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最小值f(b)．[多角探明]高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中.函数单调性的应用，归纳起来常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；(3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值.角度一：求函数的值域或最值1．函数f(x)＝1x，x≥1，－x2＋2，x＜1的最大值为___．解析：当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.2角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小2．已知函数f(x)＝log2x＋11－x，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则()A．f(x1)0，f(x2)0B．f(x1)0，f(x2)0C．f(x1)0，f(x2)0D．f(x1)0，f(x2)0解析：∵函数f(x)＝log2x＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，∴当x1∈(1,2)时，f(x1)f(2)＝0，当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)f(2)＝0，即f(x1)0，f(x2)0.角度三：解函数不等式3．f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是()A．(8，＋∞)B．(8,9]C．[8,9]D．(0,8)解析：2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有x＞0，x－8＞0，xx－8≤9，解得8＜x≤9.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4．已知函数f(x)＝a－2x，x≥2，12x－1，x2满足对任意的实数x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x20成立，则实数a的取值范围为()A．(－∞，2)B．－∞，138C．(－∞，2]D．138，2解析：由题意可知，函数f(x)是R上的减函数，于是有a－20，a－2×2≤122－1，由此解得a≤138，即实数a的取值范围是－∞，138.答案：B[类题通法]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．(4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．“课后演练提能”见“课时跟踪检测(五)”(单击进入电子文档)谢谢观看