数列求和-(共39张PPT)

[小题热身]1．设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则对任意正整数n，Sn＝()A.n[－1n－1]2B.－1n－1＋12C.－1n＋12D.－1n－12解析：因为数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列，所以Sn＝－1－－1n×－11－－1＝－1n－12，选D.答案：D2．等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项的和为Sn，则数列Snn的前10项的和为()A．120B．100C．75D．70解析：∵Sn＝na1＋an2＝n(n＋2)，∴Snn＝n＋2.故S11＋S22＋…＋S1010＝75.答案：C3．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝1nn＋1，则S5等于()A．1B.56C.16D.130解析：∵an＝1nn＋1＝1n－1n＋1，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.答案：B4．(2017·皖西七校联考(一))在数列{an}中，an＝2n－12n，若{an}的前n项和Sn＝32164中，则n＝()A．3B．4C．5D．6解析：由an＝2n－12n＝1－12n得Sn＝n－(12＋122＋…＋12n)＝n－(1－12n)，Sn＝32164＝n－(1－12n)，将各选项中的值代入验证得n＝6.答案：D5．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝________.解析：S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.答案：96．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为________．解析：Sn＝21－2n1－2＋n1＋2n－12＝2n＋1－2＋n2.答案：2n＋1－2＋n2[知识重温]一、必记6●个知识点1．公式法求和使用已知求和公式求和的方法，即等差、等比数列或可化为等差等比数列的求和方法．2．裂项相消法求和把数列的通项拆分为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法．3．错位相减法求和(1)适用的数列：{anbn}，其中数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q≠1的等比数列．(2)方法：设Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn(*)，则qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1(**)，(*)－(**)得：(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1，就转化为根据公式可求的和．4．倒序相加法求和如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和等于首末两项之和，可把正着写与倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，例如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．5．分组求和法求和若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化求和法，分别求和而后相加减．例如已知an＝2n＋(2n－1)，求Sn.6．并项求和法求和把数列中的若干项结合到一起，形成一个新的可求和的数列，此时，数列中的项可能正、负相间出现或呈现周期性．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两个项合并求解．例如：Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.二、必明2●个易误点1．使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．2．在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．考向一分组法求和[自主练透型][例1](2016·北京卷)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．[解析](1)设等比数列{bn}的公比为q，则q＝b3b2＝93＝3，所以b1＝b2q＝1，b4＝b3q＝27，所以bn＝3n－1(n＝1,2,3，…)．设等差数列{an}的公差为d.因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以1＋13d＝27，即d＝2.所以an＝2n－1(n＝1,2,3，…)．(2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1，因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.从而数列{cn}的前n项和Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1＝n1＋2n－12＋1－3n1－3＝n2＋3n－12.—[悟·技法]—分组转化法求和的常见类型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．(2)通项公式为an＝bn，n为奇数，cn，n为偶数的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．—[通·一类]—1．(2016·课标全国卷Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{bn}的前1000项和．解析：(1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1.所以{an}的通项公式为an＝n.b1＝[lg1]＝0，b11＝[lg11]＝1，b101＝[lg101]＝2.(2)因为bn＝0，1≤n10，1，10≤n100，2，100≤n1000，3，n＝1000，所以数列{bn}的前1000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1893.考向二裂项相消法求和[互动讲练型][例2](2015·课标卷Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和．已知an0，a2n＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和．[解析](1)由a2n＋2an＝4Sn＋3，可知a2n＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.可得a2n＋1－a2n＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝a2n＋1－a2n＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．由于an0，所以an＋1－an＝2.又由a21＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.(2)由an＝2n＋1可知bn＝1anan＋1＝12n＋12n＋3＝1212n＋1－12n＋3.设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1213－15＋15－17＋…＋12n＋1－12n＋3＝n32n＋3—[悟·技法]—常见的裂项方法(其中n为正整数)数列裂项方法1nn＋k(k为非零常数)1nn＋k＝1k1n－1n＋k14n2－114n2－1＝1212n－1－12n＋11nn＋1n＋2121nn＋1－1n＋1n＋21n＋n＋k1n＋n＋k＝1k(n＋k－n)loga1＋1na0，a≠1loga1＋1n＝loga(n＋1)－logan—[通·一类]—2．(2017·陕西西安市第一次质量检测)等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，前n项和为Sn；数列{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝6，b2＋S3＝8.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)求1S1＋1S2＋…＋1Sn.解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，d0，{bn}的公比为q，则an＝1＋(n－1)d，bn＝qn－1.依题意有q2＋d＝6q＋3＋3d＝8，解得d＝1q＝2，或d＝－43q＝9(舍去)．故an＝n，bn＝2n－1.(2)由(1)知Sn＝1＋2＋…＋n＝12n(n＋1)，1Sn＝2nn＋1＝2(1n－1n＋1)，∵1S1＋1S2＋…＋1Sn＝2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1n＋1)]＝2(1－1n＋1)＝2nn＋1.考向三错位相减法求和[互动讲练型][例3](2016·山东卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)令cn＝an＋1n＋1bn＋2n，求数列{cn}的前n项和Tn.[解析](1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，当n＝1时，a1＝S1＝11，所以an＝6n＋5.设数列{bn}的公差为d.由a1＝b1＋b2，a2＝b2＋b3，即11＝2b1＋d，17＝2b1＋3d，可解得b1＝4，d＝3.所以bn＝3n＋1.(2)由(1)知cn＝6n＋6n＋13n＋3n＝3(n＋1)·2n＋1，又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×4＋41－2n1－2－n＋1×2n＋2＝－3n·2n＋2，所以Tn＝3n·2n＋2.—[悟·技法]—利用错位相减法的解题策略一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是在和式的两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．若{bn}的公比为参数(字母)，则应对公比分等于1和不等于1两种情况分别求和．—[通·一类]—3．(2017·广东肇庆模拟)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝6，S5＝15.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝an2n，求数列{bn}的前n项和Tn.解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，∵S3＝6，S5＝15，∴3a1＋12×3×3－1d＝6，5a1＋12×5×5－1d＝15，即a1＋d＝2，a1＋2d＝3，解得a1＝1，d＝1.∴{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)得bn＝an2n＝n2n，∴Tn＝12＋222＋323＋…＋n－12n－1＋n2n，①①式两边同乘12，得12Tn＝122＋223＋324＋…＋n－12n＋n2n＋1，②①－②得12Tn＝12＋122＋123＋…＋12n－n2n＋1＝121－12n1－12－n2n＋1＝1－12n－n2n＋1，∴Tn＝2－12n－1－n2n.微专题(十五)——求数列前n项和(2017·江苏常州模拟)如果有穷数列a1，a2，a3，…，am(m为正整数)满足条件a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，即ai＝am－i＋1(i＝1,2，…，m)，我们称其为“对称数列”．例如，数列1,2,3,4,3,2,1与数列a，b，c，c，b，a都是“对称数列”．(1)设{bn}是8项的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b1＝1，b5＝13，依次写出{bn}的每一项；(2)设{cn}是2m＋1项的“对称数列”，其中cm＋1，cm＋2，…，c2m＋1是首项为a，公比为q的等比数列，求{cn}的各项和Sn.[解析](1)设数列{bn}的公差为d，b4＝b1＋3d＝1＋3d.又因为b4＝b5＝13，解得d＝4，所以数列{bn}为1,5,9,13,13,9,5,1