线性代数 第四章 (3-节)

1§3线性方程组解的结构定义2若一个线性方程组的常数项都等于0，那么这个线性方程组叫作齐次线性方程组.我们看一个齐次线性方程组111122121122221122000nnnnmmmnnaxaxax,axaxax,axaxax.(4.4)这个方程组总是有解，显然12000nx,x,,x就是方程组(4.4)的一个解，这个解叫做零解，若方程组还有其他解，那么这些解就叫做非零解.我们常常希望知道，一个齐次线性方程组有没有非零解，由定理3我们就立即得到.定理4一个齐次线性方程组（4.4）有非零解的充分必要条件是：它的系数矩阵的秩r小于它的未知量的个数n.定义3设12r,,,是齐次线性方程组(4.4)的r个解向量，如果满足下列条件：(1)12r,,,线性无关；(2)方程组(4.4)的任意一个解向量都能由12r,,,线性表出.则12r,,,称为齐次线性方程组(4.4)的基础解系．．．．.易见，基础解系可看成解向量组的一个极大线性无关组.定理5齐次线性方程组（4.4）若有非零解，则它一定有基础解系，且基础解系所含解向量的个数等于nr，其中r是系数矩阵的秩.证设齐次线性方程组(4.4)的系数矩阵为111212122212nnmmmnaaaaaa,aaaA由定理4知秩r＜n.对A进行行初等变换，A可化为211121211000010000010000,rn,rnr,rrncccc,cc与之对应的方程组为111112211211000,rrnn,rrnnrr,rrrnnxcxcx,xcxcx,xcxcx.（4.5）令12rrnx,x,,x为自由未知量，得111112211211,rrnn,rrnnrr,rrrnnxcxcx,xcxcx,xcxcx.(4.6)我们取12110000001rrnxx,,,,x由(4.6)可得11121122222212,r,rn,r,rnr,rr,rrnrcccxcccx,,,,cccx从而得到(4.4)的nr个解11121212221212100010011,r,rn,r,rnr,rr,rmnrccccccccc,,,.ξξξ3下面我们证明12nr,,,ξξξ就是(4.4)的基础解系.首先，这nr个解向量显然线性无关.其次，设(12nk,k,,k)是方程组(4.6)的任意解，代入方程组(4.6)得11111221121111,rrnn,rrnnrr,rrrnnrrnnkckck,kckck,kckck,kk,kk.于是121122rrnnrnkkkkkk，因此方程组(4.6)的每一个解向量，都可以由这nr个解向量12nr,,,ξξξ线性表示，所以12nr,,,ξξξ是方程组(4.6)的一个基础解系，由于方程组(4.4)与方程组(4.6)同解，所以12nr,,,ξξξ也是方程组(4.4)的基础解系.定理5实际上指出了求齐次线性方程组的基础解系的一种方法.推论(齐次线性方程组解的结构定理)齐次线性方程组（4.4）若有非零解，则它的通解就是基础解系的线性组合.例6解齐次线性方程组12341234123400220xxxx,xxxx,xxxx.解齐次线性方程组的系数矩阵为111111111122.A对A进行行初等变换，得4111111111111111100220011112200330033111111000011001100000000.A由此可看出，ｒ＝２＜4，故有非零解，其对应的方程组是123400xx,xx.把14x,x看作自由未知量，令141001x,,x得231001x,.x从而得基础解系1210100101,.ξξ由此，得方程组的通解为1122ccxξξ(其中12c,c为任意实数).例7λ取何值时，方程组1231231230020xxxxxxxxx有非零解，并求其通解.解由于所给方程组是属于方程个数与未知量的个数相同的特殊情形，可以通过判断其系数行列式是否为零，来确定方程组是否有零解.其系数行列式为1111(+1)(4-),112A当|A|=0，即λ=1，4时，有非零解.将λ=1代入原方程，得51231231230020xxxxxxxxx方程组的系数矩阵11011111121110003012112023000A得同解方程组1323102302xxxx把3x看作自由未知量，令3x=2得1213x,x从而得基础解系132ξ=所以，方程组的通解为x=kξ(k为任意实数).同理，当λ=4时，可求得方程组的通解为311kx(k为任意实数).例8设B是一个三阶非零矩阵，它的每一列是齐次方程组1231231232202030xxx,xxx,xxx.的解，求λ的值和|B|.解由于B是一个三阶非零矩阵，所以B中至少有一列向量不是零向量，又由于B的每一列都是上面齐次方程组的解，故该齐次方程组有非零解，从而系数行列式612221550311A所以λ=1.当λ=1时，秩R（A）=2从而基础解系中只含有一个解向量，因而B的三个列向量必线性相关，得|B|=0.下面讨论非齐次线性方程组.线性方程组11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxb,axaxaxb,axaxaxb（4.7）称为非齐次线性方程组(12mb,b,,b不全为0).如果把它的常数项都换成0，就得到相应的齐次线性方程组，称它为非齐次线性方程组(4.7)的导出方程组，简称导出组.非齐次线性方程组(4.7)的解与它的导出组的解之间有如下关系.定理6(非齐次线性方程组解的结构定理)如果线性方程组(4.7)有解，那么方程组(4.7)的一个解与它的导出方程组的解之和是方程组(4.7)的一个解，方程组(4.7)的任意解都可写成方程组(4.7)的一个特解与它的导出方程组的解之和.证设1112121222121122nnmmmnnmaaaaaa,aaaxbxb,,xbAxb=则方程组(4.7)可表示为Ax=b，它的导出组可表示为Ａｘ＝０.设12()nc,c,,c是方程组(4.7)的一个特解，12=()nd,d,,d是它的导出组的一个解，于是有=.b,A0那么().b+b0=所以是方程组(4.7)的一个解，设12()nl,l,,l是方程组(4.7)的任意解，那么()=AAbb0.7因此=是导出组的一个解，从而.由定理可知，对于非齐次线性方程组(4.7)在rn时，我们只须先求得它的一个特解，然后再求它的导出组的通解，由此便可得(4.7)的全部解.一般求(4.7)的一个特解与求它的导出组的通解可同时进行.例9试求123451234512345324328729456111015xxxxx,xxxxx,xxxxx.的全部解.解对增广矩阵进行行初等变换131243131243218729071036345611101507103631312431312431036307103630177770000000000002323103010777710363017777000000,由此可知系数矩阵与增广矩阵的秩都是2，故有解.由前述知对应的齐次线性方程组的基础解系(去掉常数列)为1232323107771036777100010001,,.ξξξ令3450xxx，得非齐次线性方程组的一个特解为30300077,,,,(不能忽略常数列)，于是它的全部解（一般解）为811223330737000kkk,xξξξ其中123k,k,k为任意实数.注：在求方程组的特解与它的导出组的基础解系时，一定要小心常数列(项)的处理!最好把特解与基础解系中的解分别代入两个方程组进行验证.例10设线性方程组1231231234324pxxx,xtxx,xtxx.试就p,t讨论方程组的解的情况，有解时并求出解.解对增广矩阵进行行初等变换114113=113001121401143113113001011420114200(1)142pttttptpptttpppppttptA(1)当（p1）t≠0(即p≠1,t≠0)时，有惟一解123211142(1)(1)ttpt,,.pttptxxx(2)当p=1，且14t+2pt=12t=0即t=12时，方程组有无穷多解，此时1113101220102010200000000A于是方程组的一般解为212001kx(k为任意常数).(3)当p=1，但14t+2pt=12t≠0，即t≠12时，方程组无解.9(4)当t=0时，14t+2pt=1≠0，故方程组也无解.习题四1.用消元法解下列方程组.(1)12341241234123442362242322312338;xxxx,xxx,xxxx,xxxx(2)123123123320503580;xxx,xxx,xxx2.求下列齐次线性方程组的基础解系.(1)123123123320503580;xxx,xxx,xxx(2)1234123412341234502303803970;xxxx,xxxx,xxxx,xxxx(3)123451234123422702345035680;xxxxx,xxxx,xxxx(4)12345123451234