规范答题・必考大题突破课(三)

规范答题·必考大题突破课(三)数列【热点标签】1.题型：解答题2.分值：12分3.难度：中档【热点题型】题型一：等差数列和等比数列的综合综合考查等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等差(比)中项、等差(比)数列的性质.重点考查基本量(即“知三求二”，解方程(组))的计算，灵活运用等差、等比数列的性质以及转化化归、构造等思想解决问题.题型二：数列与函数、不等式综合以函数为载体，或者利用函数解析式给出数列的递推关系.考查函数解析式的求法，数列求和，或者利用函数的单调性来确定数列的单调性、最值或解决某些恒成立问题、证明不等式等.题型一等差数列和等比数列的综合【真题示例】(12分)(2015·福建高考)在等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设bn=+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.na22【信息解读】(1)看到a2=4,a4+a7=15,想到利用基本量法可求得a1,d,进而求{an}的通项公式.(2)看到bn=+n,想到采取分组求和法求其前10项和.na22【标准答案】(1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得……………………………………………2分得分点①解得………………………………2分得分点②所以an=a1+(n-1)d=n+2.………………2分得分点③111ad4,(a3d)(a6d)15,1a3,d1.(2)由(1)可得bn=2n+n.……………1分得分点④所以b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10)=(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10)………………………………………2分得分点⑤…………………2分得分点⑥=(211-2)+55=211+53=2101.………………………1分得分点⑦1021211010122【得分细则·答题规则】第(1)问踩点说明(针对得分点①②③)：①利用基本量关系列出方程组得2分；②解对方程组求出首项和公差得2分；③写对通项公式得2分.第(2)问踩点说明(针对得分点④⑤⑥⑦)：④写对数列{bn}的通项公式得1分；⑤写对数列{bn}的前10项和，并体现分组求和得2分；⑥分别利用等差数列和等比数列前n项和公式求和得2分；⑦结果计算正确得1分.答题规则1：写全解题步骤，步步为“赢”解题时，要将解题过程转化为得分点，对于是得分点的解题步骤一定要写全，阅卷时根据步骤评分，有则得分，无则不得分，如本题中利用基本量关系列出方程组，解对方程组求出首项和公差及写对通项公式等，步骤不全不能得满分.答题规则2：准确应用等差数列和等比数列前n项和公式公式的熟记与灵活应用是得分关键，本题中应用分组求和时用对等差数列和等比数列前n项和公式是求对结果的关键，能够正确应用并写出相应步骤即可得分.【跟踪训练】(2016·重庆模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an-2n(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式an.(2)若数列{bn}满足bn=log2(an+2)，求数列{bn·(an+2)}的前n项和Tn.【解析】(1)当n∈N*时，Sn=2an-2n，则当n≥2时，Sn-1=2an-1-2(n-1)，两式相减，得an=2an-2an-1-2，即an=2an-1+2.所以an+2=2(an-1+2)，所以=2.当n=1时，S1=2a1-2，则a1=2.所以{an+2}是以a1+2=4为首项，2为公比的等比数列.所以an+2=4·2n-1，所以an=2n+1-2.nn1a2a2(2)bn=log2(an+2)=log22n+1=n+1，所以bn·(an+2)=(n+1)·2n+1，所以Tn=2×22+3×23+4×24+…+n×2n+(n+1)×2n+1，则2Tn=2×23+3×24+…+n×2n+1+(n+1)×2n+2，两式相减得-Tn=2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2=-n×2n+2，所以Tn=n×2n+2.题型二数列与函数、不等式综合【真题示例】(12分)(2015·安徽高考)设n∈N*,xn是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列{xn}的通项公式.(2)记Tn=x12x32…x2n-12，证明:Tn≥1.4n【信息解读】(1)看到“切线”想到求导,进而求切线方程,从而表示出xn.(2)看到Tn=x12x32…x2n-12,想到利用“通项”x2n-12,通过适当放缩,可得x2n-12,进而可逐项相消,顺利求证.n1n【标准答案】(1)y′=(2n+2)x2n+1,………2分得分点①曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2,从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1),……………………………………………2分得分点②令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标xn=1-……………………………………………2分得分点③1n.n1n1(2)因为xn=,所以Tn=x12x32…x2n-12=…………………………………………1分得分点④当n=1时,T1=;………………………1分得分点⑤当n≥2时,因为………………………2分得分点⑥nn1222132n1()()()242n，1422222n1222n12n112n1x()2n2n2n2n2n12nn，所以………………………………………1分得分点⑦综上可得对任意的n∈N*,均有Tn≥.………………………………………1分得分点⑧2n112n11T().223n4n14n【得分细则·答题规则】第(1)问踩点说明(针对得分点①②③)：①求导正确得2分；②求对切线方程得2分，写对斜率和方程各得1分；③写对通项公式得2分.第(2)问踩点说明(针对得分点④⑤⑥⑦⑧)：④写对Tn得1分；⑤求对T1得1分；⑥放缩正确得2分；⑦逐项相消正确得1分；⑧写出最后结论得1分.答题规则1：写全解题步骤，步步为“赢”解题时，要将解题过程转化为得分点，对于是得分点的解题步骤一定要写全，阅卷时根据步骤评分，有则得分，无则不得分，如本题中求导、求切线，写出通项公式，放缩正确等，步骤不全不能得满分.答题规则2：准确把握数列与函数、不等式的关系，在函数、不等式背景下提取数列“元素”应正确把握等差、等比数列通项公式及前n项与函数的关系，如等差数列通项可类比一次函数，前n项和可类比二次函数等，前n项和可以大于或小于某个值或式子.本题中利用“通项”x2n-12，通过适当放缩，可得是证明的关键.22n1xn1n，【跟踪训练】(2016·通化模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an0,a2=2,S4=S2+12,数列{bn}的前n项和为Tn,b1=1,点(Tn+1,Tn)在直线上.(1)求数列{an},{bn}的通项.(2)若数列的前n项和为Bn,不等式Bn≥对于n∈N*恒成立,求实数m的最大值.xy1n1n2nnb{}an21m2【解析】(1)由S4=S2+12得S4-S2=a3+a4=a2q+a2q2=12,又a2=2,所以q2+q-6=0,解得:q=2或q=-3(舍),故an=2n-1,因点(Tn+1,Tn)在直线上,所以xy1n1n2n1nTT1n1n2，故是以=1为首项,为公差的等差数列,则则Tn=n≥2时,bn=Tn-Tn-1=b1=1满足该式,故bn=n.nT{}n1T112nT11n1n2，nn1,2nn1n1nn22，(2)Bn=则两式相减得所以不等式对于n∈N*恒成立,即2n123n1,222n23n1123nB22222，n23n1nn11111nn2(1)B12,2222222nn1n2B42，nn21Bm2n1n2n214m22，则≥m对于n∈N*恒成立,那么m的最大值即为的最小值,由知,当n=1或2时,的最小值为3,所以实数m的最大值为3.n1n42n1n42nn1nn1nn14(4)222n1n42