实验二+MATLAB矩阵分析与处理

实验二MATLAB矩阵分析与处理（2学时）一、实验目的1、掌握生成特殊矩阵的方法。2、掌握矩阵分析的方法。3、用矩阵求逆法解线性方程组。二、实验内容1、设有分块矩阵22322333SOREA，其中E、R、O、S分别为单位矩阵、随机矩阵、零矩阵和对角阵，试通过数值计算验证22SORSREA。E=eye(3);R=rand(3,2);O=zeros(2,3);S=diag(1:2);A=[E,R;O,S]A=1.0000000.45650.444701.000000.01850.6154001.00000.82140.79190001.0000000002.0000H=R+R*S;D=S^2;A^2ans=1.0000000.91291.334101.000000.03701.8463001.00001.64282.37580001.0000000004.0000[E,H;O,D]ans=1.0000000.91291.334101.000000.03701.8463001.00001.64282.37580001.0000000004.0000由上述ans=A^2验证了22SORSREA。2、产生5阶希尔伯特矩阵H和5阶帕斯卡矩阵P，且求其行列式的值Hh和Hp以及它们的条件数Th和Tp，判断哪个矩阵性能更好。为什么？H=hilb(5)H=1.00000.50000.33330.25000.20000.50000.33330.25000.20000.16670.33330.25000.20000.16670.14290.25000.20000.16670.14290.12500.20000.16670.14290.12500.1111P=pascal(5)P=111111234513610151410203515153570Hh=det(H)Hh=3.7493e-012Hp=det(P)Hp=1Th=cond(H)Th=4.7661e+005Tp=cond(P)Tp=8.5175e+003答：5阶帕斯卡矩阵P的性能好。矩阵的性能是由条件数决定的，条件数越接近于1其性能就越好。由上机操作求得Th=4.7661e+005，Tp=8.5175e+003。Tp的值更接近于1则其性能要好。所以5阶帕斯卡矩阵P的性能好。3、建立一个5×5矩阵，求它的行列式值、迹、秩和范数。A=[1:5;6:10;11:15;16:20;21:25]A=12345678910111213141516171819202122232425B=det(A)B=0C=trace(A)C=65D=rank(A)D=2E=norm(A)E=74.25414、已知5881252018629A求A的特征值及特征向量，并分析其数学意义。A=[-29,6,18;20,5,12;-8,8,5]A=-2961820512-885[V,D]=eig(A)V=0.71300.28030.2733-0.6084-0.78670.87250.34870.55010.4050D=-25.3169000-10.518200016.8351在数学上，特别是线性代数中，对于一个给定的线性变换，它的特征向量（本征向量或称正规正交向量）是这样一个非零的向量v：当v经过这个线性变换的作用之后，得到的新向量（长度也许改变）仍然与原来的v保持在同一条线上。一个特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。如果特征值为正，则表示v在经过线性变换的作用后方向也不变；如果特征值为负，说明方向会反转；如果特征值为0，则是表示缩回零点。但无论怎样，仍在同一条直线上。5、下面是一个线性方程组：52.067.095.06/15/14/15/14/13/14/13/12/1321xxx（1）求方程的解。（2）将方程右边向量元素b3改为0.53，再求解，并比较b3的变化和解的相对变化。（3）计算系数矩阵A的条件数并分析结论。formatratA=[1/2,1/3,1/4;1/3,1/4,1/5;1/4,1/5,1/6]A=1/21/31/41/31/41/51/41/51/6formatb=[0.95;0.67;0.52]b=0.95000.67000.5200X=A\bX=1.20000.60000.6000b2=[0.95;0.67;0.53]b2=0.95000.67000.5300X2=A\b2X2=3.0000-6.60006.6000D=cond(A)D=1.3533e+003矩阵的条件数决定矩阵的性能，条件数越接近于1其性能越好，通过上机操作，求出系数矩阵的条件数为1.3533e+003，和1相差很大，则其性能不好。6、建立A矩阵，试比较sqrtm(A)和sqrt(A)，分析它们的区别。A=[1,2,3,4,;5,6,7,8;9,10,11,12;13,14,15,16]A=12345678910111213141516B=sqrtm(A)B=0.3989+0.9420i0.4517+0.4830i0.5045+0.0240i0.5573-0.4349i0.9216+0.3669i1.0436+0.1881i1.1656+0.0094i1.2876-0.1694i1.4443-0.2081i1.6355-0.1067i1.8267-0.0053i2.0179+0.0961i1.9669-0.7831i2.2274-0.4016i2.4878-0.0200i2.7483+0.3616iC=sqrt(A)C=1.00001.41421.73212.00002.23612.44952.64582.82843.00003.16233.31663.46413.60563.74173.87304.0000验证过程：D=B*BD=1.0000-0.0000i2.0000-0.0000i3.0000-0.0000i4.0000-0.0000i5.0000-0.0000i6.0000-0.0000i7.0000-0.0000i8.0000+0.0000i9.0000-0.0000i10.0000-0.0000i11.0000+0.0000i12.0000+0.0000i13.0000-0.0000i14.0000-0.0000i15.0000+0.0000i16.0000+0.0000iE=C.^2E=1.00002.00003.00004.00005.00006.00007.00008.00009.000010.000011.000012.000013.000014.000015.000016.0000D==Aans=0000000000000000此验证没有还原A矩阵，不知道为什么？请老师帮忙解答。通过上机操作，sqrtm是对一个矩阵求平方根，即其值乘其值将还原成A矩阵，sqrt是对矩阵里的每一个元素求平方根，要对其还原，则要用点乘。三、实验小结通过本次实验对矩阵的一些求值由了很好的了解，对一些特殊矩阵也掌握了其生成方法。特别是对矩阵函数的一些区别有了一定的了解，通过这次实验，相信在以后的操作中不会出现对矩阵函数的混淆。但是对矩阵的性能知识还是不很了解，当一个矩阵性能好了又有什么用处呢？通过此次上机操作，掌握了线性方程组的求解方法。相比起线性代数的笔算要方便多了，体会到了计算机软件的强大功能。