2013第一章时滞微分方程基本概念与解的基本性质

1.1引言1.2微分差分方程基本概念与分类1.5解的存在唯一性、延展性和连续依赖性1.3时滞微分方程的初值问题及解法1.4泛函微分方程的概念和分类第一章时滞微分方程解的基本理论1.6稳定性基本概念在这一章里，我们将介绍具有有界滞量的RFDE的解的基本理论，如存在性、唯一性、连续依赖性、延展性以及对初值的可微性等。为此，我们主要介绍解的存在性、唯一性、延展性和连续依赖性.1.2微分差分方程的概念及分类DDE12nii一般的，如果一个方程具有如下的形式x(t)=f(t,x(t),x(t-r),x(t-r),x(t-r))(1)其中r为常数，则此方程叫做微分差分方程（DifferentialDifferenceEquation,简写为）,r叫做偏差.1.2.1.微分差分方程定义()()(2).tgtniii=1形如x(t)=ax(t-r)　　称为线性微分差分方程1.2.2线性微分差分方程()0()0gtgt特别地当时,方程（2）称为线性齐次的;当时，方程（2）称为线性非齐次的.DDE关于的分类，现在还没有一套完整的方法，一般只作如下的分类：0(1,2,,)RDDEinii1).当r时，则称方程（1）为（RetardedDiffer-entialDifferenceEquation滞后型的微分差分方程时滞微,简写为）或，各个r均为滞后量分方程或滞量。1.2.3微分差分方程分类0(1,2,,)ADDEinii2).当r时，则称方程（1）为（AdvancedDiffer-entialDifferenceEquation,简写为）或时超微分方程，各个r超均前型的微分差为超前分方程量或超量。),1n1m3).如果方程具有如下形式：x(t)=f(t,x(t),x(t-r),x(t-rx(t-),,x(t-)).(3)0(1,2,,),0(1,2,,).inimii其中r则称此方程为（NeutralDifferentialDifferenceEquation,中简立型的微写为ND分差分方程DE）。1.3时滞微分方程的初值问题及解法下面介绍滞后型和中立型的微分差分方程的初值问题。至于超前型的初值问题，至今尚未有一个公认的提法。[0,),nDR+设R=(-,+),R为中的一个开集。1.3.1滞后型微分差分方程的初值问题,0()(1,2,,).niRrtrim1mm+1设方程为x(t)=f(t,x(t),x(t-r(t),,x(t-r(t))).(i)有界滞量方程的初值问(4:题)其中fRD在这里我们假设方程的滞后量都是t的函数，下面分四种情形进行考察。如何给出方程（4）的初值问题？什么叫做方程（4）满足初值问题的解？与常微分方程中的定义是否相不同？,m000i首先给定一初始时刻tR，若函数x(t)在[t,b)上是方程（4）的解，就必须要求x(t)在[t,b)上有定义且满足方程（4）,但（4）中含有x(t-r(t))(i=1,2,),,rr00000例如：给定x(t)(t),ttt那么(t)（ttt）就是方程（4）的一个初值，我们称之为，t与(t)合起来构成方程（4）的一个初初始函数始条件。,,](),]rrtr00i0000当ttt时t-r(t)有可能落在区间[tt之上，但是x在[tt上是没有定义的，它等于多少，有待我们预先给定。,,,rrbrb000000所谓方程（4）满足初值(t)（ttt）的解，是指这样的函数x(t):[t]D,它在[tt]上恒等于(t)，在[t]上满足方程（4）。1.3.2求解法——分步法求解00()(,(),()),(5)[,]xtftxtxtrtttrtf对滞后型微分方程设给定初始条件为（）,，又设函数和对于自己的变元为连续。0000()(),[,]tttrxtrtrtrt当时，由于故求方程(5)在区间上满足初始条件的解，可转化为下面的常微分方程满足初值的解：111100()(,(),()),(6)()().xtftxttrxtt001001(6)[,](),2()()ttrxttrttrxtrtr假设的解在区间上存在，记为那末当时，有。002212010(5)[,2]()(,(),()),()().trtrxtftxttrxtrtr于是方程的初值问题在区间化为下面的常微分方程的初值问题：00[,(1)]tnrtnr这样逐步地做下去，便可将方程(5)的初值问题在区间上的解转化为求下面常微分方程的初值问题的解：0000()(,(),()),()().()(5)[1,(1)]nnnnnnxtftxttrxtnrtnrttnrtnr其中是方程的初值问题在区间（）上的解。分步法求解举例()(1)(7)(),[1,0]xtxtxttt例1210111()(1);22tttc111解:(1)当时，方程(7)化为x(t)=-(t-1),解得x.由(0)=0知,c21211(2)22tt2(2)当时，方程(7)化为x(t)=-,解得32111()(2)3!2111;23!tttcx22x.由(1)=知,c123111()(2)13!23!xxttt2这就保证了(1)=(1)?x.1tnn写出当n-时，方程(7)的解x表达式.作业:()(1)1.()()1,[1,0]xtxtxtt练习00()a()()()[,]xtxtrxtCttrt2.（常数）()(1)2(1)(8)()1,()0,[0,1]xtxtxtxtxtt例2考虑下列方程计算[n-1,n]上的解的表达式，为正作业:整数.区间段取法有何思考题:要求?()(1)2(2)(9)(),[2,0]xtxtxtxttt例3在[0,4]上求下面多时滞系统的解23()5;2ttt1由(0)=0知,x01t1解:先考虑时方程(9)的解此时x(t)=(t-1)+2(t-2)233123(2)22ttt22221(2)当时，方程(9)化为x(t)=-5(t-2)+2(t-3),x(1)=x(1)解得x(t)=-18t+61t-724t(3)当2时，方程(9)化为1.4.1滞后性泛函微分方程的概念1.4泛函微分方程的概念和分类(1)RFDE有界滞量的的概念0([,],)0,([,0],)sup(),nnrnnCabRRBanachrCrRCRC设表示将区间[a,b]映射入中的连续函数所组成的并具有一致收敛拓扑的空间。对给定的我们将空间简记为其中，对任一，其范数是中定义为的范数。RFDE下面我们分别对三种的定义给予介绍。00000,0,([,],)[,],:()(),[,0].nttttRAxCtrtARttrtAxxxtrxC如果，则对任一我们定义.因此，,:()(,)(10)()()ntDRCfDRxtftxxtxtt设为给定的函数，则关系式称为具有有界滞量的。其中表示滞后性泛函微分方程对的右导数。00000,0,([,,),),(,)()[,)(10)nttRAxCtrtARtxDxtttAx如果存在以及，并且在区间上满足方程(10)，则称函数是方程的一个解。0000000000(,)(,,)(10)(,)0(,,)(10)[,,)(,)(,,)(10)(,)ttDxtttAxtttrtAxtxttt对于给定的，我们说是满足方程及其初始条件的解，是指存在，使得是方程在上的解，且。我们亦可说是方程的过点的解。(10)()(,())0(),(,)(,())nttxtftxtrCRxxtftxftxt方程是一种相当广泛的方程，它包含了常微分方程组。因为当时，空间成为空间，成为实际上是了。()(,)()(,())tnxtftxxtftxtfRCfRR从形式来看，这种泛函微分方程与常微分方程是很类似的，只是前者的定义在空间，而后者的定义在空间。因此，常微分方程中的许多理论都可平移到泛函微分方其区别程中来。nnRCRC另一方面，我们必须看到，它不具备空间那么多的良好性质，例如空间中的有界闭集与紧集是等价的，但空间中却不是这样，因此，常微分方程中的许多性质在泛函微分方程中是没有的。迄今为止，泛函微分方程的理论是空间是无穷维的不够完备的。(3)RFDE无穷延滞量的的概念(2)RFDE无界滞量的的概念（省略）Bn设是由(-,0]映入R的函数所组成的某一种函数空间。()(),ixxtn0000t若tR,x:(-,t+A]R,A为某一正数，则对每一个t[t,t+A],定义x为取遍(-,0]上的一切值。Rnt设B,f:R为给定的函数，则关系式　　　　x(t)=f(t,x)　　　　　(11)称为无穷延滞的泛函微分方程。x(t)表示x(t)对t的右导数。下面给出方程(11)的初值问题:0,(,),ttx00n000t00如果对给定的(t,),存在A0及函数x:(-,t+A)R使得x(t)在[t,t+A)上满足方程(11)且x.则称x是满足初始条件(t,)的解，计为x(t,t,).1.4.2中立型泛函微分方程的概念（省略）1.4.3超前型泛函微分方程的概念（省略）1.5解的存在唯一性、延展性和连续依赖性)(),[,0],r0t0tn考虑滞后型泛函方程x(t)=f(t,x),tt（1）x(其中f为RCR的连续泛函.　)(),[,].ttr00注初值亦可写成下面等价形式x(ttt意：000,()(0),.tttttn00　对(t,)RC,定义C([t-r,),R)如下：　　　　0000000(,)()()(),,2()(,),0,0ttssxtxttttyttryytftsydsty设为方程（1）过的解。如果则由预备定理知满足积分方程(２)　　　　　　　　　　　　0,tn反之，若y为方程(2)的解，则x便是方程(1)过()的解，因此，求方程(1)的解等价于找到函数yC([-r,a],R),使得y(t)满足方程(2)。0(,)nnCVRVRnn如果VRC,我们用C(V,R)表示所有函数f:VR所组成的集合，又用表示所有将映入的有界连续函数所组成的集合。0,(,)Banachsup,(3)nvtvCVRt()是一个空间，其范数定义为ff()。0{:}(,){([,],):0,,[0,]}ntCAyCraRyyCta对任意的正数和，令C．1n00t00引理设xC([t-r,t+A],R),则x在区间[t,t+A]上是t的连　续函数.0.0000121212证由于x在[t-r,t+A]上为一致连续，故对任意给定的0,总存在，使得[t-r,t+A]上的任意两点t和t，当tt时，均有x(t)x(t)t00从而,对任一[t,t+A],当t时便有ttttxxxt0000t因此，由的定义便知:（这里当t=t时取t0,当t=t+A时取t0）,故t在[t,t+A]时，x是的连续函数.证毕.,[,0].rx(t+)-x(t++t)对一切0000R(,)RFDE,,()(0)(,),,ntsttCftRCRttxtfsxdsttx00tt引理2设t，为给定，为映入的连续泛函，则x为下列的初值问题x(t)=f(t,x),x的解的充要条件是x满足下列的积分方程　　　　　　　　　　00(,)(,)ttsttftxtfsxdstt