高考第17题三角函数与解三角形精选ppt版本

高考第17题三角函数与解三角形一、5年命题分析考题位置2015年解答题第17题正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式2015年解答题第17题正弦定理、三角恒等变换2014年解答题第17题余弦定理、三角形面积公式2012年解答题第17题正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式命题规律分析三角函数与解三角形在解答题中一般与三角恒等变换、解三角形、平面向量等知识进行综合考查．题目难度中等偏下，多为解答题第一题二、5年真题感悟1．(2016·全国乙卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．解：(1)由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，即2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC.可得cosC＝12，所以C＝π3.(2)由已知得12absinC＝332.又C＝π3，所以ab＝6.由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋7.2．(2015·全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC.(1)若a＝b，求cosB；(2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积．解：(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cosB＝a2＋c2－b22ac＝14.(2)由(1)知b2＝2ac.因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝2.所以△ABC的面积为12×2×2＝1.3．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.(1)求sinBsinC；(2)若∠BAC＝60°，求∠B.解：(1)由正弦定理，得ADsinB＝BDsin∠BAD，ADsinC＝DCsin∠CAD.因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，所以sinBsinC＝DCBD＝12.(2)因为∠C＝180°－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝60°，所以sinC＝sin(∠BAC＋∠B)＝32cosB＋12sinB.由(1)知2sinB＝sinC，所以tanB＝33，所以∠B＝30°.4．(2014·全国卷Ⅱ)四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积．解：(1)由题设及余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC＝13－12cosC．①BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcosA＝5＋4cosC．②由①②得cosC＝12，故C＝60°，BD＝7.(2)四边形ABCD的面积S＝12AB·DAsinA＋12BC·CDsinC＝12×1×2＋12×3×2sin60°＝23.5．(2012·全国卷)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝3asinC－ccosA.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.解：(1)由c＝3asinC－ccosA及正弦定理得3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.由于sinC≠0，所以sinA－π6＝12.又0Aπ，故A＝π3.(2)△ABC的面积S＝12bcsinA＝3，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.三角函数的最值或值域问题[解](1)f(x)＝2sinx2cosx2－2sin2x2＝2×12sinx－2×1－cosx2＝22sinx＋22cosx－22＝sinx＋π4－22，所以f(x)的最小正周期T＝2π.[典例]已知函数f(x)＝2sinx2cosx2－2sin2x2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值．(2)因为x∈[－π，0]，设t＝x＋π4∈－3π4，π4，则μ＝sint∈－1，22，所以y＝μ－22∈－1－22，0，当x＋π4＝－π2，即x＝－3π4时，f(x)取得最小值－1－22.[解题模型]求解可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈(m，n)的值域的模型(1)化简：利用三角恒等变换化f(x)的式子为Asin(ωx＋φ)结构；(2)待定参数：利用条件求待定参数，如：ω，φ；(3)换元定范围：令t＝ωx＋φ，且求出t的范围；(4)结合单调性求值域：根据y＝Asint，t∈[a，b]上的单调性，求值域；(5)得结论．[对点训练](2016·龙岩调研)已知在函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R其中A0，ω0，0φπ2的图象中，相邻两条对称轴之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M2π3，－2.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈π12，π2时，求f(x)的值域．解：(1)由图象上一个最低点为M2π3，－2，得A＝2.由图象中相邻两条对称轴之间的距离为π2，得12×2πω＝π2，解得ω＝2.由点M2π3，－2在图象上得2sin2×2π3＋φ＝－2，即sin4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2kπ－π2，k∈Z，即φ＝2kπ－11π6，k∈Z.又0φπ2，所以φ＝π6.故f(x)＝2sin2x＋π6，x∈R.(2)因为x∈π12，π2，所以设t＝2x＋π6∈π3，7π6，则μ＝sint∈－12，1，所以y＝2μ∈[－1,2]．所以当x∈π12，π2时，函数f(x)的值域为[－1,2].[典例](2016·河北五校联考)在△ABC中，AB＝2AC＝2，AD是BC边上的中线．(1)求sin∠CAD∶sin∠BAD；(2)若∠B＝30°，求AD.三角形基本量的求解[解](1)∵AD为BC边上的中线，∴S△ACD＝S△ABD，∴12AC·ADsin∠CAD＝12AB·ADsin∠BAD，∴sin∠CAD∶sin∠BAD＝AB∶AC＝2∶1.(2)设BC＝x，在△ABC中，由余弦定理可得：AC2＝BA2＋BC2－2BA·BCcos∠ABC，化简得：x2－23x＋3＝0，∴x＝3，∴AC2＋BC2＝BA2，∴AC⊥BC，∴AD2＝AC2＋CD2＝74，故AD＝72.[解题模型]用正弦、余弦定理求解三角形中基本量的方法[对点训练](2016·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝a24，求角A的大小．解：(1)证明：由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故0A－Bπ，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.(2)由S＝a24得12absinC＝a24，故有sinBsinC＝12sinA＝12sin2B＝sinBcosB.因为sinB≠0，所以sinC＝cosB.又B，C∈(0，π)，所以C＝π2±B.当B＋C＝π2时，A＝π2，当C－B＝π2时，A＝π4.∴A＝π4或π2.与三角形面积有关的问题[典例]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2B＋cosB＝1－cosAcosC.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．[解](1)证明：在△ABC中，cosB＝－cos(A＋C)．由已知，得(1－sin2B)－cos(A＋C)＝1－cosAcosC，∴－sin2B－(cosAcosC－sinAsinC)＝－cosAcosC，化简，得sin2B＝sinAsinC.由正弦定理，得b2＝ac，∴a，b，c成等比数列．(2)由(1)及题设条件，得ac＝4.则cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－ac2ac≥2ac－ac2ac＝12，当且仅当a＝c时，等号成立．∵0Bπ，∴sinB＝1－cos2B≤1－122＝32.∴S△ABC＝12acsinB≤12×4×32＝3.∴△ABC的面积的最大值为3.[解题模型]与三角形面积有关的问题的解题模型(1)先转化：根据条件，利用三角变换公式化简已知条件等式，再利用正、余弦定理化边或化角．(2)再选面积公式：根据条件选择面积公式，多用三角形的面积S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA.(3)后求值：若求最值，注意根据条件利用基本不等式求最值，若求值可根据条件直接求出．[对点训练]在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccosA，bcosB，acosC成等差数列．(1)求B；(2)若a＋c＝332，b＝3，求△ABC的面积．解：(1)∵ccosA，bcosB，acosC成等差数列，∴2bcosB＝ccosA＋acosC，由正弦定理得：2sinBcosB＝sinCcosA＋sinAcosC，即2sinBcosB＝sin(A＋C)．又A＋C＝π－B，∴2sinBcosB＝sin(π－B)，即2sinBcosB＝sinB.而sinB≠0，∴cosB＝12，由0Bπ，得B＝π3.(2)∵cosB＝a2＋c2－b22ac＝12，∴a＋c2－2ac－b22ac＝12，又a＋c＝332，b＝3，∴274－2ac－3＝ac，即ac＝54，∴S△ABC＝12acsinB＝12×54×32＝5316.向量与解三角形的交汇考查[典例](2016·河北衡水模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m＝(sinB－sinA，－sinC)，n＝(sinB＋sinA，sinB－sinC)，且m⊥n.(1)求角A的大小；(2)若2c＝3b，且△ABC的面积为332，求a的值．[解](1)因为m⊥n，所以(sinB－sinA)(sinB＋sinA)－sinC(sinB－sinC)＝0，即sin2B－sin2A－sinBsinC＋sin2C＝0.由正弦定理，得b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.又A∈(0，π)，所以A＝π3.(2)因为△ABC的面积为332，且2c＝3b，所以12bcsinA＝332，即12b×32bsinπ3＝332，解得b＝2，c＝3.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，∴a＝7.[解题模型]平面向量与三角函数交汇问题的解题方法(1)先根据诱导公式、同角三角函数的基本关系、倍角等化简三角函数式．(2)再利用平面向量共线、垂直的充要条件，将向量问题转化为一般问题．(3)后根据正、余弦定理等知识解答所求．[对点训练](2017·甘肃六校联考)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(cosB，cosC)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，求a＋c的取值范围．解：(1)∵m＝(cosB，cosC)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n，∴(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，∴cosB(2sinA＋sinC)＋sinBcosC＝0，∴2cosBsinA＋cosBsinC＋sinBcosC＝0，即2cosBsinA＝－sin(B＋C)＝－sinA，又sinA≠0，∴cosB＝－12.∵0°≤B≤180°，∴B＝120°.(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos120°＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－a＋c22＝34(a＋c)2，当且仅当a＝c时取等号，∴(a＋c)2≤4，∴a＋c≤2.又a＋cb＝3，故a＋c∈(3，2]．再见