3.3.1函数的单调性与导数第二课时

3.3.1函数的单调性与导数（二）（4）.对数函数的导数:.1)(ln)1(xx.ln1)(log)2(axxa（5）.指数函数的导数:.)()1(xxee).1,0(ln)()2(aaaaaxxxxcos)(sin1）（（3）.三角函数：xxsin)(cos2）（（1）.常函数：(C)/0,(c为常数)；（2）.幂函数：(xn)/nxn1一、复习回顾：1.基本初等函数的导数公式2.定理：•一般地，函数y＝f（x）在某个区间D内：•如果恒有f′(x)0，则f（x）在区间D内上是增函数。•如果恒有f′(x)0，则f（x）在区间D上是减函数。•如果恒有f′(x)=0，则f（x）是常数函数。注意：（1）在某个区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是必要条件．（2）可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意的x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零．题型一利用导数判断函数的单调性【例1】证明：函数f(x)＝lnxx在区间(0，e)上是增函数．[思路探索]利用函数单调性与导数间的关系进行判断．证明∵f(x)＝lnxx，∴f′(x)＝x·1x－lnxx2＝1－lnxx2.又0xe，∴lnxlne＝1.∴f′(x)＝1－lnxx20，故f(x)在区间(0，e)上是单调递增函数．【变式1】试证明：函数f(x)＝sinxx在区间π2，π上单调递减．证明f′(x)＝xcosx－sinxx2，又x∈π2，π，则cosx0，∴xcosx－sinx0，∴f′(x)0，∴f(x)在π2，π上是减函数．题型二已知函数单调性求参数的取值范围【例3】已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．[思路探索]解f′(x)＝2x－ax2＝2x3－ax2.要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，即2x3－ax2≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．∵x20，∴2x3－a≥0，∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．∴a≤(2x3)min.【变式3】(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，求b，c的值．(2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．解(1)∵函数f(x)的导函数f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题设知－1x2是不等式3x2＋2bx＋c0的解集．∴－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个实根，∴－1＋2＝－23b，(－1)×2＝c3，即b＝－32，c＝－6.(2)∵f′(x)＝3ax2＋1，且f(x)有三个单调区间，∴方程f′(x)＝3ax2＋1＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×1×3a0，∴a0.∴a的取值范围为(－∞，0)．题型四用单调性与导数关系证不等式【例4】当x＞0时，证明不等式ln(x＋1)＞x－12x2.利用导数证明不等式，首先要构造函数f(x)＝ln(x＋1)－x＋12x2，证明f(x)在(0，＋∞)上单调增，由f(x)f(0)＝0证得．[规范解答]令f(x)＝ln(x＋1)－x＋12x2，(4分)则f′(x)＝11＋x－1＋x＝x21＋x.(6分)当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(8分)于是当x＞0时，f(x)＞f(0)＝0，∴当x＞0时，不等式ln(x＋1)＞x－12x2成立．(12分)【变式4】当0＜x＜π2时，求证：x－sinx＜16x3.证明设g(x)＝x－sinx－16x3，x∈0，π2，g′(x)＝1－cosx－12x2＝2sin2x2－x22.∵x∈0，π2，∴0＜sinx＜x，∴sin2x2＜x22，∴g′(x)＜0，∴g(x)在0，π2上单调递减，∴g(x)＜g(0)＝0，∴x－sinx＜16x3.通过这堂课的研究，你明确了，你的收获与感受是，你存在的疑惑之处有。(课本)P99B组第2——4题《世纪金榜》相应内容