高等数学空间直线及其方程ppt

第六节空间直线及其方程xyzo12定义空间直线可看成两平面的交线．0:11111DzCyBxA0:22222DzCyBxA00:22221111DzCyBxADzCyBxAL空间直线的一般方程L一、空间直线的一般方程xyzo方向向量的定义：如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量就称为这条直线的方向向量．sL),,(0000zyxML过点设直线MLzyxM),,(sMM0//),,(pnms其方向向量),,(0000zzyyxxMM二、空间直线的对称式方程与参数方程pzznyymxx000直线的对称式方程0Mpzznyymxx000令ptzzntyymtxx000直线的一组方向数直线的参数方程说明直线的三种形式方程之间可以互化。t例1用对称式方程及参数方程表示直线043201zyxzyx解先求直线上的一点),,(000zyx取10x063020000zyzy则解得2000zy点)2,0,1(043201000000zyxzyx即为直线上一点.再求直线的方向向量s1n2nL12所给直线与两平面的法向量都垂直可取21nns312111kji直线的对称式方程为:)3,1,4(==1x0y2z413令321041zyxtztytx3241t这就是直线的参数方程.解交点为),0,3,0(B取BAs)4,0,2(由对称式得，所求直线的方程为：例2一直线过点)4,3,2(A，且和y轴垂直相交，求其方程.轴垂直相交所求直线与y==2x3y4z204.062241312:3的交点与平面求直线例zyxzyxL解令241312zyxttztytx2432代入平面的方程062zyx得：06)24()3()2(2ttt即055t1t221zyx即交点:)2,2,1(定义直线:1L,111111pzznyymxx直线:2L,222222pzznyymxx即：两直线的方向向量的夹角（锐角）三、两直线的夹角),,(1111pnms),,(2222pnms1L2L1L2L1s2s),(21ss^1s2s),(21ss^coscos),(21ss^cos),(21ss^]cos[),(21ss^cos),(21ss^|cos|),(21ss^|cos|),(21ss^||222222212121212121pnmpnmppnnmm两直线的夹角公式cos|cos|),(21ss^222222212121212121||cospnmpnmppnnmm即两直线的位置关系：21)1(LL0212121ppnnmm21)2(LL//212121ppnnmm直线:1L直线:2L),0,4,1(1s),1,0,0(2s,021ss,21ss例如，.21LL即例4求过点)5,2,3(且与两平面34zx和152zyx的交线平行的直线方程.解设所求直线的方向向量为),,,(pnms,1ns,2ns取21nnskji134的法向量垂直和所求直线与两平面15234zyxzx由对称式得，所求直线的方程为：)5,1,2()4,0,1(512401kji)1,3,4(153243zyx即==3x2y5z314例5求过点)3,1,2(M且与直线12131zyx垂直相交的直线方程.解先作一过点M且与已知直线垂直的平面,0)3()1(2)2(3zyx再求已知直线与该平面的交点N,令tzyx12131.1213tztytx它的方程为：代入平面方程得：73:,0614tt解得即交点)73,713,72(N取所求直线的方向向量为MNMN)373,1713,272()724,76,712(74237617212zyx0)3()121(2)231(3ttt由对称式得，所求直线的方程为：431122zyx即另解：12131:1zyxL设直线上在直线点且的方向向量111)0,1,1(),1,2,3(LAsL又)3,0,3(AM)3,1,2(M1LL)0,1,1(A)1,2,3(1sN)3,1,2(M1LL)0,1,1(A)1,2,3(1sN的平面的方程为：且垂直于直线过点1LM0)3()1(2)2(3zyx即0523zyx)3,1,2(M1LL)0,1,1(A)1,2,3(1sN令1sAMn)1,2,3()3,0,3(123303kjikji6126)6,12,6()3,1,2(M1LL)0,1,1(A)1,2,3(1sN:1的平面的方程为及直线过点LM0)3(6)1(12)2(6zyx即032zyx:的方程为所求直线L0523zyx032zyx定义直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角．,:000pzznyymxxL,0:DCzByAx),,,(pnms),,,(CBAn2),(ns^2),(ns^四、直线与平面的夹角0.2或sL222222||sinpnmCBACpBnAm直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：L)1(pCnBmAL)2(//0CpBnAm),(sinsinns2|),cos(|ns^||222222pnmCBACpBnAm),(sinsinns2例6设直线:L21121zyx，平面:32zyx，求直线与平面的夹角.解),2,1,1(n),2,1,2(s222222||sinpnmCBACpBnAm96|22)1()1(21|.637637arcsin为所求夹角．五、平面束00:22221111DzCyBxADzCyBxAL直线（1）（2）任给一数（常数），得0)(22221111DzCyBxADzCyBxA（3）方程(3)表示：过直线L的一个平面.:)3(,表示方程变化时当过直线L的一族平面.反过来,过直线L的任一平面,(除平面(2)外)都含在这族平面内.通过一条定直线L的所有平面的全体称为过该直线的平面束.方程(3)表示过直线L的平面束.[实际上,缺平面(2)].001017投影直线的方程上的在平面求直线例zyxzyxzyx设直线L:0101zyxzyx0zyx：平面L1过直线L的平面束方程为:0)1(1zyxzyx0)1()1()1()1(zyx即这个平面垂直于平面它们的法向量垂直,从而有0)1,1,1()1,1,1(0111即01即1:的平面的方程为且垂直于平面过直线L0)1)(1(1zyxzyx即01zy直线L在平面上的投影直线的方程为：01zy0zyxL1.21311,01043)4,0,1(相交的直线的方程又与直线且平行于平面求过点zyxzyx例8解)4,0,1(M设点01043:zyx平面21311:1zyxL直线1LLM)1,4,3(n的法向量平面)2,1,1(11sL的方向向量直线上在直线点1)0,3,1(LNN1s的平面的方程为：且平行于平面过点M0)4()0(4)]1([3zyx即0143zyx1LLMN1s1LLMN1s)4,3,0(MN令1sMNn)2,1,1()4,3,0(211430kjikji3410)(34,10,1LLMN1s的方程为：的平面及直线过点1LM04)3(0)4()]1(10[zyx即0223410zyx的方程为：直线L0143zyx0223410zyx空间直线的一般方程.空间直线的对称式方程与参数方程.两直线的夹角.直线与平面的夹角.（注意两直线的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）六、小结思考题在直线方程pznymx6224中，m、n、p各怎样取值时，直线与坐标面xoy、yoz都平行.思考题解答},6,,2{pnms且有.0s,0ks,0is0206mp,0,6mp,0s,0n故当时结论成立．,0m6p,0n一、填空题：1、通过点)3,1,4(且平行于直线5123zyx的直线方程为______________；2、直线012309335zyxzyx与直线0188302322zyxzyx的夹角的余弦为__________；3、直线003zyxzyx和平面01zyx在平面012zyx上的夹角为___________；4、点)0,2,1(在平面012zyx上的投影为______________；练习题5、直线723zyx和平面8723zyx的关系是____________；6、直线431232zyx和平面3zyx的关系是_________.二、用对称式方程及参数方程表示直线L：421zyxzyx.三、求过点)2,1,3(且通过直线12354zyx的平面方程.四、求直线0923042zyxzyx在平面14zyx上的投影直线的方程.五、求与已知直线1L：13523zyx及2L：147510zyx都相交且和3L：137182zyx平行的直线L.六、设一平面垂直于平面0z,并通过从点)1,1,1(A到直线L：001xzy的垂线，求此平面的方程.七、求两直线1L：1101zyx和2L：0212zyx的公垂线L的方程，及公垂线段的长.八、求过点)4,0,1(且平行于平面01043zyx又与直线31311zyx相交的直线方程.九、求点)2,1,3(P到直线04201zyxzyx的距离.一、1、531124zyx；2、0；3、0；4、)32,32,35(；5、垂直；6、直线在平面上.二、311121zyx,tztytx31121.三、592298zyx.四、014117373117zyxzyx.练习题答案五、2257265828zyx或1755872zyx.六、012yx.七、11x234234zy或010542044zyxzyx,1d.八、28