人教版高中数学必修五《数列》专题(2)求数列的前n项和

2020年3月10日星期二数列求和专题课二2020年3月10日星期二公式法是数列求和的最常用方法之一，可直接利用等差数列、等比数列的求和公式，也可利用常见的求前𝒏项和的公式，如：𝟏+𝟐+𝟑+⋯+𝒏=𝟏𝟐𝒏(𝒏+𝟏)𝟏𝟐+𝟐𝟐+𝟑𝟐+⋯+𝒏𝟐=𝟏𝟔𝒏(𝒏+𝟏)(𝟐𝒏+𝟏)例1、已知数列{log𝟐𝒂𝒏−𝟏}，𝒏∈𝑵∗为等差数列，且𝒂𝟏=𝟑，𝒂𝟑=𝟗.(1)求数列{𝒂𝒏}的通项公式；(2)证明：𝟏𝒂𝟐−𝒂𝟏+𝟏𝒂𝟑−𝒂𝟐+⋯+𝟏𝒂𝒏+𝟏−𝒂𝒏=𝟏−𝟏𝟐𝒏.分析数列是由等差数列或等比数列构成，可直接由等差数列与等比数列的求和公式求和.小结2020年3月10日星期二如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成，则求此数列的前𝒏项和时一般采用(乘公比𝒒)错位相减法．如若公比是字母，须对𝒒=𝟏或𝒒≠𝟏进行讨论．例2、等比数列{𝒂𝒏}的前𝒏项和为𝑺𝒏，已知对任意的𝒏∈𝑵∗，点(𝒏,𝑺𝒏)均在函数𝒚=𝒃𝒙+𝒓(𝒃𝟎且𝒃≠𝟏，𝒃，𝒓均为常数)的图象上．(1)求𝒓的值；(2)当𝒃=𝟐时，记𝒃𝒏=𝒏+𝟏𝟒𝒂𝒏(𝒏∈𝑵∗)，求数列{𝒃𝒏}的前𝒏项和𝑻𝒏.本题主要考查数列的通项及求和的有关知识，考查运算能力和综合解题能力．小结2020年3月10日星期二把数列的通项裂成两项之差后求和，正负项相消，剩下首尾若干项．使用此方法时必须搞清楚消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点．例3、求和：𝑺𝒏=𝟐𝟐𝟏×𝟑+𝟒𝟐𝟑×𝟓+⋯+(𝟐𝒏)𝟐(𝟐𝒏−𝟏)(𝟐𝒏+𝟏).分析：研究数列的通项特点𝒂𝒌=(𝟐𝒌)𝟐−𝟏+𝟏(𝟐𝒌−𝟏)(𝟐𝒌+𝟏)=𝟏+𝟏(𝟐𝒏−𝟏)(𝟐𝒏+𝟏)，利用裂项相消法求和．2020年3月10日星期二小结抓住通项化简再裂项，常见的拆项公式有：(1)𝟏𝒏(𝒏+𝟏)=𝟏𝒏−𝟏𝒏+𝟏，(2)𝟏(𝟐𝒏−𝟏)(𝟐𝒏+𝟏)=𝟏𝟐(𝟏𝟐𝒏−𝟏−𝟏𝟐𝒏+𝟏)，(3)𝟏𝒏(𝒏+𝟏)(𝒏+𝟐)=𝟏𝟐[𝟏𝒏𝒏+𝟏−𝟏𝒏+𝟏𝒏+𝟐]，(4)𝟏𝒂+𝒃=𝟏𝒂−𝒃(𝒂−𝒃)。2020年3月10日星期二当把一个数列倒过来排序，与原数列对应项相加后有公因式可提，且余下的项容易求和，这时一般可用倒序相加法求其前𝒏项和．例4、设𝒇𝒙=𝟏𝟐𝒙+𝟐，利用教科书上推导等差数列前𝒏项和公式的方法，可求得𝒇−𝟓+𝒇−𝟒+⋯+𝒇𝟎+⋯+𝒇𝟓+𝒇(𝟔)的值为________．分析：若直接求解则相当麻烦，考虑𝒇𝒙=𝟏𝟐𝒙+𝟐的特点及𝒇(−𝟓)，𝒇(𝟔)；𝒇(−𝟒)，𝒇(𝟓)；⋯的特点，𝒇(𝒙)与𝒇(𝟏−𝒙)是否有某种特别的联系，如果有则可以用求等差数列前𝒏项和公式的方法、倒序相加法解答此题．2020年3月10日星期二小结此题运用了倒序相加法求得所给函数值的和，由此可以看出，熟练掌握重要的定理、公式的推导过程是非常重要的，它有助于同学们理解各种解题方法，强化思维过程的训练.当数列{𝒂𝒏}满足𝒂𝒌+𝒂𝒏−𝒌=𝒄(𝒄是常数)时，可用倒序相加法求数列{𝒂𝒏}的前𝒏项和.2020年3月10日星期二有些数列，通过适当拆项或分组后，可得到几个等差或等比数列，这样就可利用公式法进一步求和了．分析：(1)和(3)不能直接求和，但可以分解为特殊数列再求和；(2)注意正负相间可以将两项并在一起再求和.例5、求下列式的和(1)𝟏𝟏−𝟐+𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐+⋯+(2)𝟏−𝟑+𝟓−𝟕+𝟗−𝟏𝟏+⋯+−𝟏𝒏−𝟏(𝟐𝒏−𝟏)(3)𝟏𝟐+𝟑𝟐+𝟓𝟐+⋯+(𝟐𝒏−𝟏)𝟐．211112222nn个个2020年3月10日星期二