现代控制理论习题之李雅普诺夫稳定判据

第四章Lyapunov稳定性理论1第四章Lyapunov稳定性理论4-1试确定下列二次型是否正定。(1)3123212322212624)(xxxxxxxxxxv−−+++=(2)232123222126410)(xxxxxxxxv++−−−=(3)312321232221422410)(xxxxxxxxxxv−−+++=【解】：（1）04131341111,034111,01,131341111−=−−−−=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=P二次型函数不定。(2)034101103031,0110331,01,4101103031−=−−−=−−−⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=P二次型函数为负定。(3)017112141211003941110,010,1121412110=−−−−=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=P二次型函数正定。4-2试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。312321231221211242)(xxxxxxxcxbxaxv−−+++=【解】：312321231221211242)(xxxxxxxcxbxaxv−−+++=第四章Lyapunov稳定性理论2xcbaxT⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=1112121110212111,011,0111111−−−−cbabaa满足正定的条件为：⎪⎩⎪⎨⎧+++1111111114410cabcbabaa4-3试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。;1001)4(;1111)3(;3211)2(;1110)1(xxxxxxxx⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=【解】：（1）设22215.05.0)(xxxv+=⎩⎨⎧≠≤==−=−−=+=)0(0)0(0222221212211)(xxxxxxxxxxxxxv为半负定。又因为0)(≡xv时，有02≡x,则02≡x，代入状态方程得：01≡x.所以系统在0≠x时，)(xv不恒为零。则系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。（2）设22215.05.0)(xxxv+=212221212211221133)32()()(xxxxxxxxxxxxxxxv+−−=−++−=+=035.15.11,0135.15.11−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−⇒=xxT第四章Lyapunov稳定性理论3PxxT=P负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。（3）设22215.05.0)(xxxv+=22212122112211)()()(xxxxxxxxxxxxxv−−=−−++−=+=xxT⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=1001PxxT=P负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。（4）两个状态变量相互独立，所以可以单独分析各变量的稳定性。()()⎩⎨⎧==≠≥==⇒==0000)(5.0)(2111121111xxxxxxvxxvxx()()⎩⎨⎧==≠≤−==⇒=−=0000)(5.0)(2222222222xxxxxxvxxvxx所以系统不稳定。4-4试确定下列系统平衡状态的稳定性。)(001323031)1(kxkx⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=+【解】：方法一：采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。001323031)(=−+−−=−=zzzAzIzf1.23462.6974i-0.11732.6974i+0.1173321−===zzz特征多项式对应的特征值均在单位圆外，所以系统不稳定。方法二：采用第二方法，第四章Lyapunov稳定性理论4⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=001323031G。设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=105.0015.05.05.01P因为10，075.015.05.01=，05.0105.0015.05.05.01=，所以P正定。PxxxvT=)(正定。)())(()(kxPPGGkxkvTT−=∆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=−001323031001323031105.0015.05.05.01030023131PPGGT⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=85.175.165.475.48因为80，075.2765.45.48=，05.485.175.165.475.48=，所以P正定。)(kv∆为正定，所以系统在原点不稳定。4-5设离散系统状态方程为0)(020100010)1(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+kkxkkx，求平衡点0=ex渐近稳定时k值范围。【解】：方法一：采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。第四章Lyapunov稳定性理论502/01001)(=−−−=−=zkzzAzIzf02k-0.52k0.5321===zzz2012k0.5⇒±k时平衡点渐近稳定。方法二：PxxxvT=)(正定。)())(()(kxPPGGkxkvTT−=∆)()()(kQxkxkvT=∆令IQ−=PPGGQT−=，设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=332313232212131211PPPPPPPPPP⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=−100010001020100010010201000332313232212131211332313232212131211PPPPPPPPPkPPPPPPPPPkPPGGT0,0,0,123131211====⇒PPPP233222412,1412kPkP−=−−=所以⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=2241200014120001kkP第四章Lyapunov稳定性理论6P为正定，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒−−−2004120141222kkk时系统渐近稳定。4-6设系统的状态方程为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21215.1210xxxx，试求这个系统的李亚普诺夫函数，然后再求从封闭曲线100)(=xv边界上的一点到封闭曲线05.0)(=xv内一点的响应时间上限。【解】：令IQ=IPAPAT−=+求矩阵P，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−10015.12105.11202221121122211211PPPPPPPP⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21414145.5P所以李氏函数为：2221215.05.045.5)(xxxxxv++=)()(2221xxxv+−=011=−=−−−IPIQPλλ0=−PIλ则3062.21=λ，6938.02=λ955.1010005.0ln1),(),(ln1200min0=−=−=−ληtxvtxvtt4-7试确定下列非线性系统在原点处的稳定性。第四章Lyapunov稳定性理论7⎪⎩⎪⎨⎧++−−=+++−=⎪⎩⎪⎨⎧−+=−−=)()()2()1(22212212222112113221231211xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx【解】：（1）采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−−−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂====1111311131022210221221110xxxTxxxfxfxfxfxfA02211112=+−=−−−=−ssssAsI系统的两个特征值均在右半平面，则系统在平衡点附近不稳定。（2）采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++−+−+++−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂====11113121213102221212122210221221110xxxTxxxxxxxxxfxfxfxfxfA02211112=++=+−+=−ssssAsI系统的两个特征值都在左半平面，则系统在平衡点附近渐近稳定。4-8试确定下列非线性系统在原点处稳定时的参数a、b的取值范围（其中二者均大于或等于零，但二者不同时为零）。⎪⎩⎪⎨⎧−−−==3221221bxaxxxxx【解】：⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂====abxaxfxfxfxfxfAxxxT110311002202212211101112++=+−=−assassAsI结论：系统在原点渐近稳定的充要条件是a大于0,b任意（同时还需满足题目要求）。第四章Lyapunov稳定性理论84-9试证明系统⎪⎩⎪⎨⎧−−==221211221xxaxaxxx在0,021aa时是全局渐近稳定的。【解】：求平衡点:⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=−−===000021221211221eexxxxaxaxxx设222115.05.0)(xxaxv+=)(221221221122111)(xxaxaxxxaxxxxaxv−−+=+=022212)(−=xxaxv结论01a，)(xv正定；02a，)(xv负定，系统渐近稳定。因为∞⇒x时，∞⇒+=222115.05.0)(xxaxv，所以系统又是大范围渐近稳定。4-10试用克拉索夫斯基法确定非线性系统在原点0=ex处为大范围渐近稳定时，参数a和b的取值范围。⎪⎩⎪⎨⎧+−=+=32212211bxxxxxaxx【解】：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=22221221113111bxaxfxfxfxfxfJT令IP=)()()(xfxfxvT=)(3111)(2)(])[()(22xfbxaxfxfJJxfxvTTT⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=+=系统在0=ex处渐近稳定的条件是)(xv负定。而)(xv负定的条件为：第四章Lyapunov稳定性理论90133111,02222−+−=+−abxabxaa大范围渐近稳定的条件是：∞⇒x时∞⇒)(xv而∞⇒x时，∞⇒+−++=23221221)()()(bxxxxaxxv所以系统大范围渐近稳定的条件是：0133111,02222−+−=+−abxabxaa4-11试用变量-梯度法构成下述非线性系统的李氏函数。⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=22221112xxxxxx【解】：求平衡点:⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=−==+−=00002212222111eexxxxxxxx设⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∇21222121212111VVxaxaxaxaV222222211223111212112211122)()()(xaxxaxxaxxaaxaxVxvT−+++−−=∇=若选0,121122211====aaaa021121221==∂∂∇==∂∂∇axVaxV满足旋度方程条件222121)21()(xxxxxv−−−=。当5.021xx时，)(xv负定而)(5.0)(22212)(021)0(0111221xxxdxxdxxvxxxxx+=+=∫∫==为正定。当5.021xx时，系统在平衡点渐近稳定。4-12设非线性系统方程为第四章Lyapunov稳定性理论10⎩⎨⎧=+−=)(),()(232212111xfxxxfxfx式中0),0(,0)0()0(2231===xfff试求系统原点0=ex稳定的充分条件。【解】：由第一法，02322121100==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂+∂∂−=∂∂=xxTxfxfxfxfxfA稳定条件为：01211∂∂+∂∂−xfxf，023∂∂xf由克拉索夫斯基法设xxxvT=)(为正定。xFxxvT=)(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂+∂∂−+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂+∂∂−=∂∂+∂∂=232212112322121100)(xfxfxfxfxfxfxfxfxfxfFTTT⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢