增益与相位裕量

1第15讲程向红系统的设计与校正问题常用校正装置及其特性串联校正控制系统的校正2例5-6设一个闭环系统具有下列)1()()(TssKsHsG试确定该闭环系统的稳定性。平面GHReIm100开环传递函数)()(jGjH极坐标图图5-44解)()(sGsH在右半s平面内有一个极点Ts11P图5-44中的奈奎斯特图表明，)()(sGsH轨迹顺时针方向包围-1+0点一次1R2PRZ这表明闭环系统有两个极点在右半s平面，因此系统是不稳定的。3例5-7设一个闭环系统具有下列开环传递函数试确定该闭环系统的稳定性。图5-45)()(jGjH极坐标图平面GHReIm1K30K40渐近线在右半s平面内有一个极点1s1P因此开环系统是不稳定的)()(sGsH轨迹逆时针方向包围-1+j0一次1R0PRZ说明)()(1sGsH没有零点位于右半s平面内，闭环系统是稳定的。这是一个开环系统不稳定，但是回路闭合后，变成稳定系统的例子。图5-45表明4例5-8一单位反馈控制系统的开环传递函数为)1)(1()(32221sTsTsTTKsG式中312,,TTTK和均为正值。为使系统稳定，开环增益K与时间常数312,TTT和之间满足什么关系？解：频率特性)(23222221])(1][)()1[()(jeTTTTKjG322121)(arctgTTTTarctg0)0(jKjG00)(jjG)1](1)([)(32221jTjTjTTKjG5-1-0.500.511.52-1.5-1-0.500.511.5RealAxisImagAxis2,3,2,1321KTTT6)1](1)([)(32221jTjTjTTKjG1)())(()(32232213321jTTjTTTTjTTTKjTTTTTTTTK)()(12321322312令虚部为零即可0232132TTTTT32132TTTTTc与负实轴相交于312323122312)(1)(1)(TTTTTTTTKTTTKjGcc1)(1313231TTTTTTK1)(313231KTTTTTT展开？与负实轴的交点75.7.1相位裕度和增益裕度ReIm01平面G大时K小时K图5-46的极坐标图)(jG5.7相对稳定性0)(dBh0判断系统稳定的又一方法)()(180ccjHjG)()(log20xxjHjGh8相位裕度、相角裕度(PhaseMargin)设系统的截止频率(Gaincross-overfrequency)为c1)()()(cccjHjGjA定义相角裕度为)()(180ccjHjG当0时，相位裕量为正值；0时，相位裕度为负值。当增益裕度、幅值裕度(GainMargin)h设系统的相位穿越频率(Phasecross-overfrequency))12()()()(kjHjGxxx,1,0k定义幅值裕度为)()(1xxjHjGh)()(log20xxjHjGh若以分贝表示，则有x9LogLogLogLog90270180PositiveGainMarginPositivePhaseMarginNegativeGainMarginNegativePhaseMarginStableSystemUnstableSystem0dB902701800dBcxcx10ReImh1PlaneGPositiveGainMarginPositivePhaseMargin-11ReImh1PlaneGNegativeGainMarginNegativePhaseMargin-11StableSystemUnstableSystem)(jG)(jG11例5-9一单位反馈系统的开环传递函数为)05.01)(2.01()(sssKsGK=1时系统的相位裕度和增益裕度。要求通过增益K的调整，使系统的增益裕度20logh=20dB，相位裕度40解：180)()()(xxxjHjG18005.02.090)(xxxarctgarctg即9005.02.0xxarctgarctg2121211)(tgtgtgtgtgxxxx05.02.0105.02.0005.02.01xx10x相位穿越频率x增益裕度)()(log20)(xxjHjGdBhdB281720在x处的开环对数幅值为12根据K=1时的开环传递函数c1)()(ccjHjG)05.01)(2.01(1)(ccccjjjjG1)0025.01)(04.01(122ccc1c10405.02.090)(cccarctgarctg76104180)(180c相位裕度增益穿越频率截止频率13BodeDiagramFrequency(rad/sec)Phase(deg)Magnitude(dB)-40-30-20-1001020100101-225-180-135-90)(dBhc1K5.2K2.5KcK)(dBh)(dBh14由题意知10h1.0)(xjG1.0)0025.01)(04.01(22xxxK5.225.0141101.0K验证是否满足相位裕度的要求。根据40的要求，则得：1404018005.02.090)(cccarctgarctg5005.02.0ccarctgarctg2.105.02.0105.02.0cccc4c1)0025.01)(04.01(22cccK2.502.128.14K不难看出，5.2K就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求。15例5-11设一单位反馈系统对数幅频特性如图5-50所示(最小相位系统)。写出系统的开环传递函数判别系统的稳定性如果系统是稳定的，则求ttr)(时的稳态误差。解：由图得)51)(01.01()1.01()(jjjjKjG看对数幅频特性1610-310-210-1100101102-40-20020406080-20dB/dec-20dB/dec-40dB/dec-40dB/dec0.010.115rad/sdB)(L)51)(01.01()1.01()(jjjjKjG171lg20)51(1lg20)01.01(1lg20)1.01(1lg20lg20222K1110010K10K)2.01)(1001()101(10)(sssssG由于是最小相位系统，因而可通过计算相位裕度是否大于零来判断系统的稳定性。由图可知1c在c处4.1065101.011.0190)(arctgarctgarctgc则得6.73)(180c单位斜坡输入时，系统的稳态误差为1.01011vssKe0系统稳定185.7.3标准二阶系统中阶跃瞬态响应与频率响应之间的关系S(S+2ξωn)ωn2R(s)C(s)图3-8标准形式的二阶系统方块图_)2()(2nnsssG)2()(2nnjjjG书上例5-13p203设截止频率14)(2222nccncjGc则有24214(ncnarctg290)(242142arctg195.7.4截止频率与带宽(Cutofffrequencyandbandwidth)dB)(L0带宽b33图5-53截止频率与系统带宽参看图5-53，当闭环频率响应的幅值下降到零频率值以下3分贝时，对应的频率称为截止频率。dBjRjCjRjC3)0()0(lg20)()(lg20b对于的dBjRjC0)0()0(lg20系统dBjRjC3)()(lg20b一阶系统的带宽为其时间常数的倒数。二阶系统，闭环传递函数为2222)2()1(1)(nnj2)2()1(2222nbnb1)21(21222nb20始开21基于一个控制系统可视为由控制器和被控对象两大部分组成，当被控对象确定后，对系统的设计实际上归结为对控制器的设计，这项工作称为对控制系统的校正。第六章控制系统的校正前面几章讨论了控制系统几种基本方法。掌握了这些基本方法，就可以对控制系统进行定性分析和定量计算。本章讨论另一命题，即如何根据系统预先给定的性能指标，去设计一个能满足性能要求的控制系统。DesignandCompensationTechniques22输出量串联补偿元件放大元件执行元件被控对象反馈补偿元件测量元件局部反馈为改善系统性能测量元件被控对象执行元件局部反馈放大元件串联补偿主反馈反馈补偿为改善系统性能输入量输出量在实际过程中，既要理论指导，也要重视实践经验，往往还要配合许多局部和整体的试验。所谓校正，就是在系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。工程实践中常用的校正方法，串联校正、反馈校正和复合校正。23目前，工业技术界多习惯采用频率法，故通常通过近似公式进行两种指标的互换。参见书p2206.1系统的设计与校正问题6.1.1控制系统的性能指标时域指标稳态型别、静态误差系数动态超调、调整时间频域指标开环频率、闭环带宽、谐振峰值、谐振频率增益穿越频率、幅值裕度和相位裕度24(1)二阶系统频域指标与时域指标的关系707.02201212rM谐振频率221nr带宽频率1)21(21222nb截止频率24214(nc相位裕度242142arctg(6-5)谐振峰值(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)超调量%100%21e调节时间nSt5.3tgtSc7(6-7)(6-6)25谐振峰值sin1rM超调量8.11)1(4.016.0rrMM调节时间csKt8.11)1(5.2)1(5.122rrrMMMK(2)高阶系统频域指标与时域指标(6-8)(6-9)(6-10)26既能以所需精度跟踪输入信号，又能拟制噪声扰动信号。在控制系统实际运行中，输入信号一般是低频信号，而噪声信号是高频信号。6.1.2系统带宽的选择带宽频率是一项重要指标。如果输入信号的带宽为M~0则Mb)10~5((6-11)请看系统带宽的选择的示意图选择要求27dB)(L0带宽b330M1n)(j)(jR)(jN)0(j)0(707.0j图6-1系统带宽的选择噪声输入信号28校正方式串联校正)(sR)(sC)(sG)(sH)(sE)(sGc)(sGo反馈校正)(sR)(sC)(sH)(sE)(sGo)(sGc校正装置校正装置前馈校正复合校正29前馈校正复合校正)(sR)(sC)(sG)(sH)(sE)(sG)(sGc)(sC)(sG)(sN)(sG)(sGc(b)前馈校正（对扰动的补偿）(a)前馈校正（对给定值处理）+--+R(s)E(s)N(s)C(s)图3-26按扰动补偿的复合控制系统)(2sG)(1sG)(sG