声学基础-第三章-声波的辐射

1第三章声波的辐射本章主要讨论介质中的声波与声源本身的振动状态之间的相互关系，即：声源的辐射特性。关于声源的辐射特性，主要牵涉两方面内容：一是研究当声源振动时，辐射声场的各种规律，如声压与声源的关系；声压随距离的变化及声源的指向特性等。二是研究由声源激发起来的声场反过来对声源振动状态的影响规律，即：由于辐射声波而附加于声源的辐射阻抗。下面就根据不同形式的声源，分别进行讨论。§3.1脉动球源的辐射所谓脉动球源是指进行均匀胀缩振动的球面声源，即：球源表面的各点沿径向作同振幅、同相位的振动。当脉动球源的球径尺寸足够小时，它就成为了点源。理论上，任何复杂的面声源，都可以通过点源的组合来实现，因此球源是最基本的声源形式。3.1.1球面声场设有一半径为0r的球体，其表面作均匀的微小胀缩振动，即它的半径在0r附近以微量dr作简谐的变化，从而向周围的媒质中辐射声波。因为球面的振动过程具有各向均匀的脉动性质，因而它所产生的声波波振面是球面，辐射的是均匀球面波。如图3-1-1所示。球面声场的波动方程如式（2-4-17）所示22222021ppprrrct（2-4-17）令Ypr带入式（2-4-17）得到我们熟悉的波动方程形式图3-1-12222201YYrct（2-4-18）求解后得球面波波函数的一般解jωtkrjωtkrABpeerr（3-1-1）如果不考虑反射波(在无限大介质中，经常如此)，其形式为：jωtkrAper（3-1-2）其中Ar为声压振幅，A通常为复数。而2000111jωtkrrpAvejωρrrρcjkr（3-1-3）为径向质点振动速度波函数，其中0011Arρcjkr为质点振动速度振幅（振速幅值）。3.1.2声辐射与球源大小的关系式（3-1-2）中的待定常数A由声源与声场介质的边界条件确定。设球源表面的振动速度为：0jωtkrauue其中au为速度振幅，0r为球源半径。在声场介质与声源的交界面有：0rrrvu（3-1-4）由此可确定20000201jθaρckrAukrjAekr（3-1-5）其中2000201aρckruAkr01arctanθkr最后的到声场中声压的波函数为：()()jωtkrθjωtkrθaApeper（3-1-6）质点振动速度波函数为：()jωtkrθθrravve（3-1-7）其中2001()raakrvpρckr1arctan()θkr由（3-1-6）式不难看出，在离脉动球源距离为r的地方，声压幅值的大小由A确定，而（3-1-5）式显示A值不仅取决于球源的表面振动速度au，而且还取3决于其频率（2πkλ）或波长、球源的半径0r。当球源半径很小或其频率很低时，有01kr，2000aLAρckru，这时的脉动球源被称为点源；而当球源半径比较大或其频率较高时，有01kr，此时，000aHAρcru，此时的球源相当于平面波。3.1.3声场对脉动球源的反作用——辐射阻抗脉动球源在介质中振动，使介质发生稀疏交替的形变，从而辐射出声波；与此同时，声源本身也处于由它自己辐射形成的声场之中，也必然会受到声场对它的反作用，这个反作用力为：00rrrFSp（3-1-8）负号代表力的方向与声压的变化方向相反，2004Sπr为脉动球源的表面积。将（3-1-5）式代入（3-1-2）式并考虑到（3-1-4）式得：220000000022220011rkrkrFρcSjρcSukrkr如果令辐射阻2200002201rkrRρcSkr辐射抗00002201rkrXρcSkr（3-1-9）辐射阻抗rrrZRjX则上述反作用力可以写成rrFZu（3-1-10）考虑到声场对脉动球源的反作用力rF以后，把球源表面看成一个力学系统，其振动表面的质量为mM，弹性系数为mK，受到的摩擦力阻为mR，策动其表面振动的力为0()jωtkraFFe，因此其振动表面的运动方程为：mrmmduMFFRuKudtdt或mmmrduMRuKudtZuFdt4将0()jωtkrauue带入得mrFuZZ（3-1-11）其中()()mmrmrrmKZZRRjXωMω()()mrmrmKXRRjωMωω（3-1-12）把（3-1-11）和（3-1-12）的结果与第一章中强迫振动的阻抗公式比较，可以发现，由于声场对声源的反作用，对声源振动系统而言，相当于在原来的力学振动系统上附加了一个力阻抗rrrZRjX。这种由于声辐射引起的附加于力学系统（声源）的力阻抗被称为辐射阻抗。辐射阻抗同样由阻和抗构成，辐射阻增加了振动系统（声源）的阻尼作用和能耗，振动系统（声源）不仅要消耗能量克服摩擦阻尼mR，消耗的能量转化成热能；而且还要消耗能量克服辐射阻尼rR，消耗的能量转化成声能；另一方面辐射抗的作用表现为一种惯性抗，它相当于在振动系统（声源）表面质量mM上附加了一个辐射质量rrMXω，由于这一部分附加辐射质量的存在，声源的振动质量好像加重了，由mM变成了mrMM。其中rM为同振质量，mrMM为有效质量。应用辐射阻抗的概念可以方便地研究声源的辐射特性。声源振动系统消耗在辐射阻上的能量就应该等于其辐射的声能，即脉动球源的平均辐射声功率：212rraWRu（3-1-13）如果把0()kr看作频率的量度，由（3-1-9）式，当01kr时20000()rRρckrS；0000rXρckrS300000043()33rrXMρrSπrρMω（3-1-14a）当01kr时000rRρcS；0rX0rrXMω（3-1-14b）5脉动球源中用于克服这一部分附加惯性力而作功所消耗的能量并没有转化成向外辐射的声能，该部分能量只是储藏在声源的振动系统中。由此也可看出点源的辐射效率是比较低的。当然把0()kr看作频率的量度，说明声源的频率、尺寸及波长都不是指其绝对数值的大小，而是取决于声源尺寸与波长的比值（002rkrπλ）。脉动球源辐射阻抗随0kr值的变化规律如图3-1-2所示。图3-1-23.1.4脉动球源辐射声场的性质由脉动球源向介质辐射的声压公式：()()jωtkrθjωtkrθaApeper其中：2000201aρckruAkr；01arctanθkr声压振幅随径向距离反比地减小。如图3-1-3所示。另外，由于图3-1-3aApr，因此有2aAdpdrr或2aAdpdrr当r足够大时，0adpdr，即此时球面波特性已接近平面波了。6根据声强的计算公式，球面声场的声强仍为：01ReReTIpvdtT220001()1cos()cos()TakrpωtkrθωtkrθθdtTρckr22220000001()cos22aeakrppθpρckrρcρc（3-1-15）其中三角函数的积分采用积化合差变换，而1arctan()θkr可得2cos1()krkr；另外2aepp因为ap或ep皆与距离r成反比，所以声强I仅是径向距离r的函数。而平均声功率可写为：22220000242AWISrAcrc（3-1-16）为一个与距离无关的常数。另外该平均声功率W与（3-1-13）式给出的声源辐射声功率W比较212rraWRu根据能量守恒原理，二者应该相等。§3.2声偶极子的辐射所谓声偶极子是指由两个相距很近、并以相同振幅和相反相位（相位差为π）小脉动球源组成的声源。例如：低频工作状态下的无障板纸盆扬声器。3.2.1声偶极子辐射声场设构成声偶极子的两个小脉动球源相距为l，坐标原点选在l的中点，如图3-2-1()a所示。这种组合声源在空间r处产生的声压为各小脉动球源在r处产生声压的叠加，即：7()()jωtkrjωtkrpAreAre（3-2-1）考虑rl，两小球源到达测试点r的振幅差异被忽略，只考虑其相位产生的差异。即用r替代振幅或幅值中的r和r；而将指数中cos2lrrθ和cos2lrrθ图3-2-1代入（3-2-1）式得coscos()22()klθklθjjjωtkrApeeer()cos(2sin)2jωtkrAklθejr（3-2-2）当l很小、频率较低或波长很大时，有1kl，此时有()cosjωtkrkAlpjθer（3-2-3）将（3-2-3）式的偶极声源与（3-1-5）式的脉动球源比较可以发现，偶极辐射的振幅与极角θ有关，即在声场中同一距离、不同方向的位置上声压不同。为了描述声源辐射随方向而异的特性，定义任意方向的声压幅值与0θ度轴上的声压幅值之比为该声源的辐射指向特性，即：0()()()aθaθpDθp（3-2-4）对偶极声源，由（3-2-3）式，其指向特性为()cosD，在极坐标上的图形如图3-2-1()b所示。偶极声源的质点振动速度为：()001(1)cosjωtkrrkAlvjθeρcrjkr（3-2-5）8偶极声源的辐射声强为：222220001ReRecos2TrAklIpvdtθTρcr（3-2-6）通过以r为半径的球面的平均声能量流即平均声功率为;2222002sin3SπWIdSIrθdθdφAklρc（3-2-7）带入A值得：442200023aWπρckrlu（3-2-8）是一个与r无关的常量，符合能量守恒定律。3.2.2声偶极的等效辐射阻偶极声源向空间辐射声波，声波同样会对声源产生反作用，这就在声源力学系统上附加了一项辐射阻抗。如果把偶极声源看作是一个振速为au、辐射阻为rR的等效脉动球源，则它的平均辐射声功率为:212raWRu（3-2-9）另一方面，它也应该等于（3-2-8）式，因此在1kl的情况下，有44200043rRπρckrl（3-2-10）由此可见，偶极声源辐射阻正比于频率ω的四次方，比较（3-1-13）式，脉动球源的辐射阻正比于频率ω的平方，2213rrRklR（3-2-11）可见偶极声源的辐射本领远小于脉动球源。§3.3同相小球源的辐射偶极声源是两个靠得很近的反相小脉动球源的组合声源；而同相小球源是两个靠得很近的同相小脉动球源的组合声源。它是构成声柱和声阵辐射的最基本模型。3.3.1两个同相小球源的辐射声场设两个同相小球源的距离为l，振动的频率和振幅相等，坐标原点在l的中点，x9轴垂直于l，如图3-3-1。当rl时，采用与前面相同的处理办法，即忽略两小球源到达P点的振幅差异，保留相位差异，并定义二分之一声程差sin2l在空间r处的P点所产生的声压为：()jtkrjkjkApeeer()2cosjtkrAekr图3-3-1()sin2sinjtkrAkerk（3-3-1）此式表明，该组合声源的辐射声场同样具有指向性。3.3.2同相小球源辐射声场的指向性特点因为()(0)2jtkrAper所以()0()sin2()2sinaapkDpk因此其指向特性取决于声程差和波长的比值。当1）2km（0,1,2m）时相当于sinlm（2-3-2）即声程差为波长的整数倍时，()1D，合成声压出现极大值。出现极大值的角度为：arcsinml（0,1,2m）（3-3-3）其中0方向的极大值为主极大值，其余为副极大值。在02之间出现副极大值的个数恰好等于比值l的整数部分。这种在其它方向出现副极大值的10现象易造成声辐射能量分散的现象，避免的方法就是使l＜。2）2km(1,3,5,)m时相当于sin2lm（3-3-4）即声程差为二分之一波长的奇数倍时，()0D合成声