2018年世界少年奥林匹克数学竞赛九年级海选赛试题含答案

九年级第1页九年级第2页绝密★启用前世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛选手须知：1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。3、比赛时不能使用计算工具。4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。九年级试题（Ａ卷）（本试卷满分120分，考试时间90分钟）一、填空题。（每题5分，共计50分）1、边长为4的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是。2、231x，则92223xxx。3、a为不超过a的最大整数，令,53a][22aab，则3)2(b。4、已知五个实数89，91，95，x,101，这五个数与他们平均数的差分别为-6，-4，y,z,6,则x+y+z=。5、如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是____________cm。6、如图，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6，则k的值为。7、若有理数x，y，z满足)2)(2()2(2zyx则2)(zy8、如图，边长为1的菱形ABCD中，60DAB．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形11DACC，使601ACD；连结1AC，再以1AC为边作第三个菱形221DCAC，使6012ACD；……，按此规律所作的第n个菱形的边长为．9、120人参加数学竞赛，试题共有5道大题，已知第1、2、3、4、5题分别由96、83、74、66、35人做对，如果至少做对3题便可获奖，则这次竞赛至少有人获奖10、已知函数mxxy322与x轴有四个交点，则m的取值范围为二、计算题。（每题6分，共计12分）11、对于正数x，规定12)(22xxxf，例如58)2(,1)1(ff。求:f(2018)+f(2017)+f(2016)+f(2015)……+f(2)+f(1)+f(21)+……f(20161)+f(20171)+f(20181)的值。ABCDEyxOMC2D2C1D1CDAB省市学校姓名赛场参赛证号∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕密〇封〇装〇订〇线∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕密封线内不要答题九年级第1页九年级第2页12、已知三个关于x的一元二次方程0,0,0222baxcxacxbxcbxax恰有一个公共的实数根，求abcacbbca222的值三、解答题。（第13题6分，第14题8分，第15题10分，第16题10分，第17题12分，第18题12分，共计58分）13、若a0,b0，且02211baba，求ab14、已知非零实数a，b满足ababaa4)1)(5(316822，求1ba的值15、设a为正整数，如果关于x的方程0)28(522axx有两个有理根，求所有a的值。16、如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且2ABAD.(1)保持图1中的ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧）。试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；（2）保持图2中的ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）。试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明。17、已知821,......,aaa均为正数，且,4......,20......821821aaaaaa证明：821,......,aaa之中至少有一个数小于1。18、已知0)24)((4)2(2zyyxzx，试求xy24与z的关系∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕密〇封〇装〇订〇线∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕密封线内不要答题EDCBA图1EDCBA图2MNNM图3ABCDE（第16题图）九年级第1页九年级第2页九年级A一、填空题（每题5分，共计50分）1、3316322、33,254、1035、4136、27、08、13n9、4210、0m4二、计算题(每题6分，共计12分)11、解：f(2)+f(21)=2,f(3)+f(31)=2f(2018)+f(20181)=2f(2018)+f(2017)+f(2016)+f(2015)……+f(2)+f(1)+f(21)+……f(20161)+f(20171)+f(20181)=2*2017+1=403512、解：设0x是这三个方程的公共实数根，则0,0,0020020020baxcxacxbxcbxax将这三个式子相加整理得到0)1)((020xxcba又因为043)21(120020xxx，故0cba3)(3)(333333222abcbaababcbabaabccbaabcacbbca三、解答题（第13题6分，第14题8分，第15题10分，第16题10分，第17题12分，第18题12分，共计58分）13、解：由02211baba得0222baba2分因式分解为0))(2(222babababa2分因为a0,b0，则ba21分所以21ab1分14、由题意得：5,0)1)(5(2aba1分44)4(16822aaaaa1分0)1)(5(3)1)(5(34)1)(5(344)1)(5(316822222babababababababaa2分又因为03b，0)1)(5(2ba故0)1)(5(32bab2分则5,3ab，1分故1ba=251分15、解：由于方程的两根均为有理数，所以0，且为完全平方数2分,0889)28(825aa1分1,08,898aa2分当a8=0时，a=8；1分当a8=1时，a=7；1分经检验a=8，a=7符合题意，2分故a=7，8.1分16、解：（1）DE=AD+BE.1分如图（2），在Rt△ADC和Rt△BEC中，∵∠ACD+∠CAD=90°,∠ACD+∠BCE=90°.∴∠CAD=∠BCE.2分又∵AC=BC,∠ADC=∠CEB=90°,∴Rt△ADC≌Rt△CEB.∴DC=BE,CE=AD.∴DC+CE=BE+AD,即DE=AD+BE.2分（2）DE=BE-AD.1分如图（3），在Rt△ADC和Rt△CEB中，∵∠ACD+∠CAD=90°,∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE.2分又∵∠ADC=∠CBE=90°,AC=CB,∴Rt△ADC≌Rt△CBE.∴DC=BE,CE=AD.∴DC-CE=BE-AD,即DE=BE-AD.2分17、证明：假设821,......,aaa都不小于1，可设)8,......,2,1,0(,1ibbaiii2分则)1)......(1)(1(.......,12......821821821bbbaaabbb3分13)......(1............)......(1821821821bbbbbbbbb3分与4......821aaa相矛盾，故假设不成立，2分九年级第1页九年级第2页所以821,......,aaa之中至少有一个数小于1.2分18、解：当x≠y时，作方程0)24()2()(2zytzxtyx2分因为0)24)((4)2(2zyyxzx，所以上述方程有两个相等的实根2分又,0244244)24()2)(2()2)((2zyxzyxzyzxyx2分故这个方程有两个相等的根221xx，于是)44)(()24()2()(22ttyxzytzxtyx2分从而)(424),(42yxzyyxzx即xyzzyzx24,2422分当x=y时，z=2x则4y-2x=2x,即4y-2x=z2分