同底数幂的乘法-幂的乘方-积的乘方

幂的运算一1．同底数幂的乘法：am·an=am+n(m,n是自然数)同底数幂的乘法法则是本章中的第一个幂的运算法则，也是整式乘法的主要依据之一。学习这个法则时应注意以下几个问题：（1）先弄清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。（2）它的前提是“同底”，而且底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，如：(2x+y)2·(2x+y)3=(2x+y)5，底数就是一个二项式(2x+y)。（3）指数都是正整数（4）这个法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即am·an·ap....=am+n+p+...(m,n,p都是自然数)。（5）不要与整式加法相混淆。乘法是只要求底数相同则可用法则计算，即底数不变指数相加，如：x5·x4=x5+4=x9；而加法法则要求两个相同；底数相同且指数也必须相同，实际上是幂相同系数相加，如-2x5+x5=(-2+1)x5=-x5，而x5+x4就不能合并。例1．计算：(1)(-)(-)2(-)3(2)-a4·(-a)3·(-a)5解：(1)(-)(-)2(-)3分析：①(-)就是(-)1，指数为1=(-)1+2+3②底数为-，不变。=(-)6③指数相加1+2+3=6=④乘方时先定符号“+”，再计算的6次幂解：(2)-a4·(-a)3·(-a)5分析：①-a4与(-a)3不是同底数幂=-(-a)4·(-a)3·(-a)5可利用-(-a)4=-a4变为同底数幂=-(-a)4+3+5②本题也可作如下处理：=-(-a)12-a4·(-a)3·(-a)5=-a4(-a3)(-a5)=-a12=-(a4·a3·a5)=-a12例2．计算(1)(x-y)3(y-x)(y-x)6解：(x-y)3(y-x)(y-x)6分析：(x-y)3与(y-x)不是同底数幂=-(x-y)3(x-y)(x-y)6可利用y-x=-(x-y),(y-x)6=(x-y)6=-(x-y)3+1+6变为(x-y)为底的同底数幂，再进行计算。=-(x-y)10例3．计算：x5·xn-3·x4-3x2·xn·x4解：x5·xn-3·x4-3x2·xn·x4分析：①先做乘法再做减法=x5+n-3+4-3x2+n+4②运算结果指数能合并的要合并=x6+n-3x6+n③3x2即为3·(x2)=(1-3)x6+n④x6+n，与-3x6+n是同类项，=-2x6+n合并时将系数进行运算(1-3)=-2底数和指数不变。2．幂的乘方(am)n=amn，与积的乘方(ab)n=anbn(1)幂的乘方，(am)n=amn，(m,n都为正整数)运用法则时注意以下以几点：2①幂的底数a可以是具体的数也可以是多项式。如[(x+y)2]3的底数为(x+y)，是一个多项式，[(x+y)2]3=(x+y)6②要和同底数幂的乘法法则相区别，不要出现下面的错误。如：(a3)4=a7；[(-a)3]4=(-a)7；a3·a4=a12(2)积的乘方(ab)n=anbn，（n为正整数）运用法则时注意以下几点：①注意与前二个法则的区别：积的乘方等于将积的每个因式分别乘方（即转化成若干个幂的乘方），再把所得的幂相乘。②积的乘方可推广到3个以上因式的积的乘方，如：(-3a2b)3如(a1·a2·……an)m=a1m·a2m·……anm例4．计算：①(a2m)n②(am+n)m③(-x2yz3)3④-(ab)8解：①(a2m)n分析：①先确定是幂的乘方运算=a(2m)n②用法则底数a不变指数2m和n相乘=a2mn②(am+n)m分析：①底数a不变，指数(m+n)与m相乘=a(m+n)m②运用乘法分配律进行指数运算。=③(-x2yz3)3分析：①底数有四个因式：(-1),x2,y,z3分别3次方=(-1)3(x2)3y3(z3)3②注意(-1)3=-1,(x2)3=x2×3=x6=-x6y3z9④-(ab)8分析：①8次幂的底数是ab。=-(a8b8)②“-”在括号的外边先计算(ab)8再在结果前面加上“-”号。=-a8b8例5．当ab=，m=5,n=3,求(ambm)n的值。解：∵(ambm)n分析：①对(ab)n=anbn会从右向左进行逆运算ambm=(ab)m=[(ab)m]n=(ab)mn②将原式的底数转化为ab，才可将ab代换成。∴当m=5,n=3时，∴原式=()5×3=()15()15应将括起来不能写成15。例6．若a3b2=15，求-5a6b4的值。解：-5a6b4分析：a6b4=(a3b2)2=-5(a3b2)2应用(ab)nanbn=-5(15)2=-1125例7．如果3m+2n=6，求8m·4n的值。解：8m·4n分析：①8m=(23)m=23m4n=(22)n=22n=(23)m·(22)n②式子中出现3m+2n可用6来代换=23m·22n=23m+2n=26=64（一）同底数幂的乘法一、基础训练1、a16可以写成（）A．a8+a8B．a8·a2C．a8·a8D．a4·a42、下列计算正确的是（）A．b4·b2=b8B．x3+x2=x6C．a4+a2=a6D．m3·m=m43、计算（－a）3·（－a）2的结果是（）A．a6B．－a6C．a5D．－a54、计算：（1）m3·m4·m·m7;（2）（xy）2·（xy）8·（xy）18;（3）（－a）2·（－a）4·（－a）6;（4）（m+n）5·（n+m）8;5、一种电子计算机每秒可进行1015次运算，它工作107秒可进行多少次运算？二、能力提升1．下面的计算错误的是（）A．x4·x3=x7B．（－c）3·（－c）5=c8C．2×210=211D．a5·a5=2a102．x2m+2可写成（）A．2xm+2Bx2m+x2C．x2·xm+1D．x2m·x23．若x，y为正整数，且2x·2y=25，则x，y的值有（）A．4对B．3对C．2对D．1对4．若am=3，an=4，则am+n=（）A．7B．12C．43D．345．若102·10n=102010，则n=_______．6．计算（1）（m－n）·（n－m）3·（n－m）4（2）（x－y）3·（x－y）·（y－x）2（3）x·x2+x2·x7．已知：3x=2，求3x+2的值．8．已知xm+n·xm－n=x9，求m的值．49．若52x+1=125，求（x－2）2011+x的值．10．（二）幂的乘方一、基础训练1、如果正方体的棱长是（1－2b）3，那么这个正方体的体积是（）．A．（1－2b）6B．（1－2b）9C．（1－2b）12D．6（1－2b）62、计算（－x5）7+（－x7）5的结果是（）．A．－2x12B．－2x35C．－2x70D．03、如果x2n=3，则（x3n）4=_____．4、下列计算错误的是（）．A．（a5）5=a25B．（x4）m=（x2m）2C．x2m=（－xm）2D．a2m=（－a2）m5、在下列各式的括号内，应填入b4的是（）．A．b12=（）8B．b12=（）6C．b12=（）3D．b12=（）26、计算:（1）（m3）4+m10m2+m·m3·m8（2）[（a－b）n]2[（b－a）n－1]2（3）[（a－b）n]2[（b－a）n－1]2（4）（m3）4+m10m2+m·m3·m8（5）[（－1）m]2n+1m-1+02012―（―1）2011二、能力提升1、若xm·x2m=2，求x9m=___________。2、若a2n=3，求（a3n）4=____________。3、已知am=2,an=3,求a2m+3n=___________.4、若644×83=2x，求x的值。5、已知a2m=2，b3n=3，求（a3m）2－（b2n）3+a2m·b3n的值．6、若2x=4y+1，27y=3x-1，试求x与y的值．8、已知a3=3，b5=4，比较a、b的大小．7、已知a=355，b=444，c=533，请把a，b，c按大小排列．35,335,311,377,aabcdbcd已知求证: